Enunciado

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 x n 2 n

Passo 1

Para encontrarmos o raio de convergência, o primeiro passo é aplicar o teste da razão.

Temos que

a n = - 1 n n 2 x n 2 n

Então, fazemos

a n + 1 = - 1 n + 1 ( n + 1 ) 2 x n + 1 2 n + 1

Passo 2

Assim,

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 2 x n + 1 2 n + 1 ⋅ 2 n n 2 x n = lim n → ∞ ⁡ x n + 1 2 2 n 2 = l i m n → ∞ | x | 2 1 + 1 n 2   = | x | 2 ⋅ 1 2 = 1 2 | x |

Passo 3

Pelo teste da razão, a série ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 x n 2 n

Converge quando

1 2 x < 1

Isso implica que

x < 2

Passo 4

Então, o raio de convergência é

R = 2

Agora vamos verificar os pontos de extremidade, ou seja,

x = ± 2

Ambas séries

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 ( ± 2 ) n 2 n = ∑ n = 1 ∞ ∓ 1 n n 2

Diverge pelo teste da divergência, uma vez que

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ | ∓ 1 n n 2 | = ∞

Então, o intervalo de convergência é:

I = ( - 2 , 2 )

Resposta

R = 2

I = ( - 2 , 2 )

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