Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine o raio de convergência da série de potência dada.

7.

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 x + 2 n 3 n

Passo 1

Fala galera!!

Queremos encontrar o raio de convergência da seguinte série de potências:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 x + 2 n 3 n

Para isso, vamos começar usando o teste da razão.

Passo 2

O teste diz o seguinte:

Se ∑ a n  é uma série positiva e

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

então:

(a) A série  ∑ a n é absolutamente convergente se L < 1 .

(b) A série  ∑ a n é divergente se L > 1 .

(c) O teste da relação é inconclusivo se L = 1 .

Passo 3

Temos que:

a n = - 1 n n 2 x + 2 n 3 n

Então:

a n + 1 = - 1 n + 1 n + 1 2 x + 2 n + 1 3 n + 1

Vamos aplicar agora o teste da razão. Assim temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

= lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 n + 1 2 x + 2 n + 1 3 n + 1 - 1 n n 2 x + 2 n 3 n

= lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 n + 1 2 x + 2 n + 1 3 n + 1 ⋅ 3 n - 1 n n 2 x + 2 n

= lim n → ∞ ⁡ - 1 ⋅ - 1 n n 2 ⋅ 1 + 1 n 2 x + 2 ⋅ x + 2 n 3 ⋅ 3 n ⋅ 3 n - 1 n n 2 x + 2 n

= lim n → ∞ ⁡ - 1 ⋅ 1 + 1 n 2 x + 2 3 ⋅ 1 1

= x + 2 3 lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n 2

= x + 2 3

Passo 4

Assim, a série de potências converge absolutamente para x + 2 3 < 1 . Ou seja:

x + 2 3 < 1

x + 2 < 3

- 2 < x + 2 < 3

- 4 < x < 1

A série de potências diverge absolutamente para x + 2 > 3 .

Portanto, o raio de convergência da série de potências é ρ = 3 .

Resposta

ρ = 3

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