Enunciado

  1. Qual é o raio de convergência de uma série de potências? Como você o encontra?
  2. O que é o intervalo de convergência de uma série de potências? Como você o encontra?

Passo 1

Para uma série de potências

∑ n = 0 ∞ c n x - a n

existem apenas três possibilidades em relação a sua convergência:

  1. A série converge apenas quando x = a
  2. A série converge para todo x
  3. Existe um número positivo R tal que a série converge se x - a < R e diverge se x - a > R

Passo 2

  1. O raio de convergência de uma série de potências é número R .
  2. Por convenção, temos que R = 0 no caso (i) e R = ∞ no caso (ii).

    O Teste da Razão ou, em alguns casos, o Teste da Raíz devem ser usados para determinar o raio de convergência R . Porém, esses testes sempre falham quando x é uma extremidade do intervalo de convergência, sendo assim, as extremidades devem ser estudadas com outro teste.

    Passo 3

  3. O intervalo de convergência de uma série de potências é aquele que consiste em todos os valores de x   para os quais a série converge.

No caso (i) o intervalo consiste em apenas um único ponto a .

No caso (ii) o intervalo é - ∞ , ∞ .

No caso (iii) a desigualdade x - a < R pode ser reescrita como a - R < x < a + R . Quando x é uma extremidade do intervalo, isto é, x = a ± R , qualquer coisa pode acontecer. A série pode convergir em uma ou ambas as extremidades ou divergir em ambas as extremidades. Portanto, neste caso, existem quatro possibilidades para o intervalo de convergência:

( a - R ,   a + R )

( a - R ,   a + R ]

[ a - R ,   a + R )

[ a - R ,   a + R ]

Portando, para determinar o intervalo de convergência, devemos determinar o valor de R .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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