Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.8 - Ex. 2
- Qual é o raio de convergência de uma série de potências? Como você o encontra?
- O que é o intervalo de convergência de uma série de potências? Como você o encontra?
Passo 1
Para uma série de potências
existem apenas três possibilidades em relação a sua convergência:
- A série converge apenas quando
- A série converge para todo
- Existe um número positivo tal que a série converge se e diverge se
Passo 2
- O raio de convergência de uma série de potências é número .
- O intervalo de convergência de uma série de potências é aquele que consiste em todos os valores de para os quais a série converge.
Por convenção, temos que no caso (i) e no caso (ii).
O Teste da Razão ou, em alguns casos, o Teste da Raíz devem ser usados para determinar o raio de convergência . Porém, esses testes sempre falham quando é uma extremidade do intervalo de convergência, sendo assim, as extremidades devem ser estudadas com outro teste.
Passo 3
No caso (i) o intervalo consiste em apenas um único ponto .
No caso (ii) o intervalo é .
No caso (iii) a desigualdade pode ser reescrita como . Quando é uma extremidade do intervalo, isto é, , qualquer coisa pode acontecer. A série pode convergir em uma ou ambas as extremidades ou divergir em ambas as extremidades. Portanto, neste caso, existem quatro possibilidades para o intervalo de convergência:
Portando, para determinar o intervalo de convergência, devemos determinar o valor de .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)