Enunciado

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

∑ n = 1 ∞ n n x n  

Passo 1

Através do enunciado, vemos que

a n = n n x n

No Teste da Razão, temos que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

onde

L < 1 ,         a   s é r i e   é   a b s o l u t a m e n t e   c o n v e r g e n t e L > 1 ,           a   s é r i e   é   d i v e r g e n t e L = 1 ,           n ã o   s e   p o d e   t i r a r   c o n c l u s õ e s

Ao aplicar o Teste da Razão na série dada, temos que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n n + 1 x n + 1 n n x n

Reescrevendo a equação acima de forma mais simplificada e cortando os termos iguais, obtemos

lim n → ∞ ⁡ n n n x n x n n x n = lim n → ∞ ⁡ n x

Logo, para ser convergente, temos duas opções:

x = 0

x = n

Porém, devido ao Teste da Razão, para a série convergir, temos que L < 1 . Para que essa condição seja satisfeita, o valor de x será

x = 0

Logo, L = 0 .

Portanto, o raio de convergência R = 0 .

Passo 2

Agora devemos avaliar o intervalo de convergência.

Como o Raio de convergência é R = 0 , o intervalo de convergência será

{ 0 }

Resposta

R = 0

{ 0 }

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