Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine valores aproximados da solução x   =   ϕ ( t ) ,   y   =   ψ ( t ) do problema de valor inicial dado em t   =   0,2 ;   0,4 ;   0,6 ;   0,8   e   1,0 . Compare os resultados obtidos por métodos diferentes e tamanhos de passos diferentes.

(a) Use o método de Euler com h   =   0,1 .

(b) Use o método de Runge-Kutta com h   =   0,2 .

(c) Use o método de Runge-Kutta com h   =   0,1 .

x ' = 2 x + t y ; y ' = x y ; x 0 = 1   e   y 0 = 1

Passo 1

As fórmulas que usaremos no exercício serão 4 , 5 , 6 e 7 :

x n + 1 = x n + h f n     ; ( 4 )

x n + 1 y n + 1 = x n y n + h f ( t n , x n , y n ) g ( t n , x n , y n )     ; ( 5 )

O método de Runge-Kutta pode ser generalizado pra sistemas:

x n + 1 = x n + h 6 k n + 2 k n 2 + 2 k n 3 + k n 4 ; ( 6 )

As demais pertencem a (7):

k n 1 = f ( t n , x n )

k n 2 = f t n + h 2 ,   x n + h 2 k n 1

k n 3 = f t n + h 2 ,   x n + h 2 k n 2

k n 4 = f t n + h , x n + h k n 3

Faremos as aproximações em t = 0,2 , fazendo alterações a cada índice.

Passo 2

Para este problema, temos f n   = 2 x n + t n y n e g n =   x n   y n . Agora use as fórmulas (4) e (5) e as condições iniciais para obter x ( 0,1 ) e y ( 0,1 ) .

x ( 0,1 ) y ( 0,1 ) = x 1 y 1 = x 0 y 0 + h f t 0 , x 0 , y 0 g t 0 , x 0 , y 0 = 1 1 + 0,1 f ( 0,1 , 1 ) g ( 0,1 , 1 )

= 1 1 + 0,1 2.1 + 0.1 1.1 = 1,2 1,1

Além disso, nós temos.

x ( 0,2 ) y ( 0,2 ) = x 2 y 2 = x 1 y 1 + h f t 1 , x 1 , y 1 g t 1 , x 1 , y 1 = 1,2 1,1 + 0,1 f ( 0.1,1.2,1.2 ) g ( 0.1,1.2,1.1 )

= 1.2 1.1 + 0,1 2.1,2 + 0,1.1,1 1,2.1,1 = 1,451 1,232

Temos x ( 1,0 ) e y ( 1,0 ) . Vamos montar uma tabelinha marota, indicando o que nós chamaremos de iteração, a cada passo de n = 0,1   até n = 1 , e os resultados se atualizam a cada iteração, repetindo o processo que calculamos aqui encima:

Passo 3

Para este problema, temos f n   = x n + t n + y n e g n =   4 x n -   2 y n . Agora use as fórmulas (6) e (7) e as condições iniciais para obter t = 0,2 .

k 01 = f ( 0,1 , 0 ) g ( 0,1 , 0 ) = 1 4

k 0 2 = f ( 0.1,1 + 0,1.1 + 0,1.4 ) g 0.1,1 + 0,1.1 + 0,1.4 = 1,6 3,6

k 0 3 = f ( 0.1,1 + 0,1 . 6 + 0,1 . 3,6 ) g 0.1,1 + 0,1 . 6 + 0,1 . 3,6 = 1,62 3,92

k 0 4 = f ( 0 . 2 ; 1 + 0 , 2 . 1 , 62   ;   0 + 0 , 2 . 3,92 ) g 0 . 2 ; 1 + 0 , 2 . 1 , 62 ; 0 + 0 , 2 . 3,92 = 2,308 3,728

x ( 0,2 ) y ( 0,2 ) = x 0 y 0 + 0,2 6 1 4 + 2 1,6 3,6 + 2 1,62 3,92 + 2,308 3,728 = 1 , 3 2493 0,75893

Temos x ( 1,0 ) e y ( 1,0 ) . Vamos montar uma tabelinha marota, indicando o que nós chamaremos de iteração, a cada passo de n = 0,1   até n = 1 , e os resultados se atualizam a cada iteração, repetindo o processo que calculamos aqui encima:

Passo 4

Para este problema, temos f n   = x n + t n + y n e g n =   4 x n -   2 y n . Agora use as fórmulas (6) e (7) e as condições iniciais para obter t = 0 , 1 .

k 01 = f ( 0,1 , 0 ) g ( 0,1 , 0 ) = 1 4

k 02 = f ( 0 , 05 ; 1 + 0 , 05 . 1 + 0 , 05 . 4 ) g 0 , 05 ; 1 + 0 , 05 . 1 + 0 , 05 . 4 = 1 , 3 3 , 8

k 03 = f ( 0 , 05 ; 1 + 0 , 05 . 1 , 3 + 0 , 05 . 3 , 8 ) g 0,05 ; 1 + 0,05.1,3 + 0,05.3,8 = 1 , 305 3 , 88

k 04 = f ( 0 , 1 ; 1 + 0 , 1 . 1 , 305   ;   0 + 0 , 1 . 3 , 88 ) g 0,1 ; 1 + 0,1.1,305   ;   0 + 0,1.3,88 = 1,6185 3,7 46

x ( 0 , 1 ) y ( 0 , 1 ) = x 0 y 0 + 0 , 1 6 1 4 + 2 1,3 3,8 + 2 1,305 3,88 + 1,6185 3,746 = 1 , 141967 0 , 3848

Temos x ( 1,0 ) e y ( 1,0 ) . Vamos montar uma tabelinha marota, indicando o que nós chamaremos de iteração, a cada passo de n = 0,1   até n = 1 , e os resultados se atualizam a cada iteração, repetindo o processo que calculamos aqui encima:

Resposta

( a )   1.451 ,   1.232 ;   2.16133 ,   1.65988 ;   3.29292 ,   2.55559 ;   5.16361 ,   4.7916 ;   8.54951 ,   12.0464  

b 1.51844 ,   1.28089 ;   2.37684 ,   187711 ;   3.85039 ,   3.44859 ;   6.6956 ,   9.50309 ;   15.0987 ,   64.074    

( c )   1.51855 ,   1.2809 ;   2.3773 ,   1.87729 ;   3.85247 ,   3.45126 ;   6.71282 ,   9.56846 ;   15.6384 ,   70.3792

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16 - Deduza a fórmula inversa de diferenciação de segunda ordem dada pela Eq. (15)
9 - y ' = t + y , y 0 = 3 .
12 - y ' = ( y 2 + 2 t y ) / ( 3 + t 2 ) , y 0 = 0,5 .
10 - y ' = 2 t + e - t y , y 0 = 1 .