Enunciado

11 - y^' = ( 4 - t y ) // ( 1 + y^2 ) , y (0) = - 2 .

Passo 1

  1. O problema do valor inicial é:
  2. y^' = ( 4 - t y ) // ( 1 + y^2 ) , y (0) = - 2 .

    Temos então que y_0 = y (0) = 2 . Use o método Runge-Kutta para calcular os valores iniciais y_1 , y_2 , y_3 . Cada etapa do método é dada por:

    y_n + 1 = y_n + ((h)/(6)) ( k_1 + 2 k_2 + 2 k_3 + k_4 )

    Onde,

    k_1 = f ( t_n , y_n )

    k_2 = f ((t_n + h)/(2) , (y_n + h k_1)/(2))

    k_3 = f ((t_n + h)/(2) , (y_n + h k_2)/(2))

    k_4 = f ( t_n + 1 , y + h k_3 )

    Use o método de previsão e correção de quarta ordem para calcular os valores restantes. O método é dado por:

    y_n + 1 = y_n + ((h)/(24)) (55 f_n - 59 f_n - 1 + 37 f_n - 2 - 9 f_n - 3)

    Para f_n + 1 = f ( t_n + 1 , y_n + 1 ) , a fórmula de correção se torna:

    y_n + 1 = y_n + ((h)/(24)) (9 f ( t_n + 1 , y_n + 1 ) + 19 f_n - 5 f_n - 1 + f_n - 2)

    Os valores aproximados dos  y  calculados usando este método com  h = 0,05 são mostrados na tabela abaixo.

    Passo 2

  3. A etapa do método Adams-Moulton de quarta ordem é a seguinte:
  4. y_n + 1 = y_n + ((h)/(24)) (9 f_n + 1 + 19 f_n - 5 - 5 f_n - 1 + f_n - 2)

    Substituindo a expressão acima por f_n + 1 , temos:

    y_n + 1 = y_n + ((h)/(24)) (9 (4 - t_n + 1 y_n + 1) // ( 1 + y_(n + 1)^2 ) + 19 f_n - 5 f_n - 1 + f_n - 2)

    Um método para resolver essa equação  y_n + 1 é usar o método de Newton, que é um método iterativo para encontrar raízes. Vamos então definir uma função.

    F (y_n + 1) = y_n + ((h)/(24)) (9 (4 - t_n + 1 y_n + 1) // ( 1 + y_(n + 1)^2 ) + 19 f_n - 5 f_n - 1 + f_n - 2) - y_n + 1

    A aproximação de Euler nos fornece que y_n + 1 é a raiz de F. Portanto, uma boa primeira aproximação para y_n + 1 é y_n , então vamos supor que y_n + 1 = y_n . Cada aproximação sucessiva de y_n + 1 é calculada com a fórmula abaixa:

    y_(n + 1)^(k + 1) = y_(n + 1)^k - (F (y_(n + 1)^k))/(F ' ( y_(n + 1)^k ))

    A iteração será contínua até que a solução venha a convergir. Para implementar o método de Newton, é necessário conhecer a derivada de  F :

    F^' (y_n + 1) = - ((9 h)/(2 4)) [ 2 y_n + 1 (4 - t_n + 1 y_n + 1) // (1 + y_(n + 1)^2)^2 + t_n + 1 // ( 1 + y_(n + 1)^2 ) ] - 1

    Os valores aproximados dos  y  calculados usando este método com  h = 0,05 são mostrados na tabela abaixo.

    Passo 3

  5. Cada etapa do método da diferença inversa de quarta ordem é a seguinte:

y_n + 1 = (1)/(25) [ 48 y_n - 36 y_n - 1 + 16 y_n - 2 - 3 y_n - 3 + 12 h f ( t_n + 1 , y_n + 1 ) ]

Substituía a expressão por f_n + 1 .

y_n + 1 = (1)/(25) [48 y_n - 36 y_n - 1 + 16 y_n - 2 - 3 y_n - 3 + 12 h (4 - t_n + 1 y_n + 1) // ( 1 + y_(n + 1)^2 )]

Novamente, isso pode ser resolvido usando o método de Newton. Nesse caso, as funções  F F^' são:

F (y_n + 1) = (1)/(25) [48 y_n - 36 y_n - 1 + 16 y_n - 2 - 3 y_n - 3 + 12 h (4 - t_n + 1 y_n + 1) // ( 1 + y_(n + 1)^2 )] - y_n + 1

F^' (y_n + 1) = - ((12 h)/(25)) 2 y_n + 1 (4 - t_n + 1 y_n + 1) // (1 + y_(n + 1)^2)^2 + t_n + 1 // ( 1 + y_(n + 1)^2 ) ] - 1

Os valores aproximados dos  y  calculados usando este método com  h = 0,05 são mostrados na tabela abaixo.

Resposta

a)

c)

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Usando o método de redução de ordem, mostre que, se r 1 for uma raiz repetida de r ( r - 1 ) + α r + β = 0 , então x r 1 e x r 1 serão soluções de x 2 y ' ' + α x y ' + β y = 0 para x0 .
2 - (d x)/(d t) = ([[5,-,1],[3,1]]) x
5 - d x d t = 1 - 5 1 - 3 x
1 - d x d t = 3 - 2 2 - 2 x
3 - d x d t = 2 - 1 3 - 2 x