Enunciado

Em cada um dos problemas de 16 a 25, encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada.

A = 3 2 2 1 4 1 - 2 - 4 - 1

Passo 1

O cálculo de Autovalores pode ser dado por:

det ⁡ A - λ I

Então teremos:

d e t 3 - λ 2 2 1 4 - λ 1 - 2 - 4 - 1 - λ

Onde:

= - λ 3 - 6 λ 2 + 11 λ - 6

Que pode ser reescrito como:

= λ - 1 λ - 2 λ - 3

Os autovalores podem ser dados por:

λ 1 = 1

λ 2 = 2

λ 3 = 3

Passo 2

Para encontrar o vetor próprio de autovetor correspondente a λ 1 = 1 , precisamos resolver A - λ I = 0 . Use a eliminação de Gauss para encontrar o autovetor (este é um sistema homogêneo de equações)

3 2 2 1 4 1 - 2 - 4 - 1 - 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 2 2 2 1 3 1 - 2 - 4 - 2

Temos que a primeira e a última coluna são iguais, conseguimos montar um autovetor do tipo 1,0 ,   - 1 T correspondente ao autovetor:

1 0 - 1

Passo 3

Quando usamos o autovalor λ = 2 , nós precisamos aplicar na fórmula:

A - λ I = 0

Usaremos eliminação de Gauss:

3 2 2 1 4 1 - 2 - 4 - 1 - 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 1 2 2 1 2 1 - 2 - 4 - 3

Conseguimos montar um autovetor do tipo - 2 , 1 ,   0 T correspondente ao autovetor:

- 2 1 0

Passo 4

Quando usamos o autovalor λ = 3 , nós precisamos aplicar na fórmula:

A - λ I = 0

Usaremos eliminação de Gauss:

3 2 2 1 4 1 - 2 - 4 - 1 - 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 0 2 2 1 1 1 - 2 - 4 - 4

Conseguimos montar um autovetor do tipo 0 , 1 , - 1 T correspondente ao autovetor:

0 1 - 1

Resposta

Para λ 1 = 1   t e m o s   1 0 - 1 .

Para λ 2 = 2   t e m o s   - 2 1 0

.

Para λ 3 = 3   t e m o s   0 1 - 1

.

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Suponha que d e tA=0 e queA x=b tem solução. Mostre que ( b ,y )=0 , em que y é qualquer solução deA * y = 0 . Verifique se essa afirmação é verdadeira para o conjunto de equações no Exemplo 2.
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Em cada um dos problemas de 16 a 25, encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada. A = 1 0 0 2 1 - 2 3 2 1
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Prove que λ=0 será um autovalor de A se, e somente se, A for singular.