Enunciado

Considere o problema do exemplo x '   =   x   –   4 y ,   y '   =   - x   +   y com as condições iniciais x ( 0 )   =   1 ,   y ( 0 )   =   0 . Use o método de Runge-Kutta para encontrar valores aproximados da solução desse problema no intervalo 0   ≤   t   ≤   1 . Comece com h   =   0,2 e depois repita os cálculos com h   =   0,1 ;   0,05 ; . . . , cada um como a metade do anterior. Continue o processo até os cinco primeiros dígitos da solução em t   =   1 permanecerem constantes para tamanhos sucessivos de passos. Determine se esses dígitos são precisos comparando-os com a solução exata dada nas Eqs. (10) no texto.

Passo 1

As fórmulas que usaremos no exercício serão 4 , 5 , 6 e 7 :

x n + 1 = x n + h f n     ; ( 4 )

x n + 1 y n + 1 = x n y n + h f ( t n , x n , y n ) g ( t n , x n , y n )     ; ( 5 )

O método de Runge-Kutta pode ser generalizado pra sistemas:

x n + 1 = x n + h 6 k n + 2 k n 2 + 2 k n 3 + k n 4 ; ( 6 )

As demais pertencem a (7):

k n 1 = f ( t n , x n )

k n 2 = f t n + h 2 ,   x n + h 2 k n 1

k n 3 = f t n + h 2 ,   x n + h 2 k n 2

k n 4 = f t n + h , x n + h k n 3

Passo 2

Para este problema, temos f n   = x n - 4 y n e g n =   - x n +   y n . Agora use as fórmulas (6) e (7) e as condições iniciais para obter h = 0,2 .

k 01 = f ( 0,1 , 0 ) g ( 0,1 , 0 ) = 1 - 1

k 02 = f ( 0.1,1 + 0,1.1 + 0,1 . ( - 1 ) ) g 0.1,1 + 0,1.1 + 0,1 . ( - 1 ) = 1,5 - 1,2

k 03 = f ( 0,1 ; 1 + 0,1.1,5 + 0,1 . ( - 1,2 ) ) g 0,1 ; 1 + 0,1.1,5 + 0,1 . ( - 1,2 ) = 1,63 - 1,27

k 04 = f ( 0,2 ; 1 + 0,2.1,63 + 0,2 . ( - 1,27 ) ) g 0,2 ; 1 + 0,2.1,63 + 0,2 . ( - 1,27 ) ) = 2,342 - 1,58

x ( 0,2 ) y ( 0,2 ) = x 0 y 0 + 0,2 6 1 - 1 + 2 1,5 - 1,2 + 2 1,63 - 1,27 + 2,342 - 1,58 = 1,32007 - 0,250667

Temos x ( 1,0 ) e y ( 1,0 ) . Vamos montar uma tabelinha marota, indicando o que nós chamaremos de iteração, a cada passo de n = 0,1   até n = 1 , e os resultados se atualizam a cada iteração, repetindo o processo que calculamos aqui encima:

Passo 3

Para este problema, temos f n   = x n - 4 y n e g n =   - x n +   y n . Agora use as fórmulas (6) e (7) e as condições iniciais para obter h = 0,1 .

k 01 = f ( 0,1 , 0 ) g ( 0,1 , 0 ) = 1 - 1

k 02 = f ( 0.05,1 + 0,05.1 + 0,05 . ( - 1 ) ) g 0.05,1 + 0,05.1 + 0,05 . ( - 1 ) = 1,25 - 1,1

k 03 = f ( 0.05,1 + 0,05.1,25 + 0,05 . ( - 1,1 ) ) g 0.05,1 + 0,05.1,25 + 0,05 . ( - 1,1 ) = 1,2825 - 1,1175

k 04 = f ( 0,1 ; 1 + 0,1.1,2825 + 0,1 . ( - 1,1175 ) ) g 0,1 ; 1 + 0,1.1,2825 + 0,1 . ( - 1,1175 ) ) = 1,57525 - 1,24

x ( 0,2 ) y ( 0,2 ) = x 0 y 0 + 0,2 6 1 - 1 + 2 1,25 - 1,1 + 2 1,2825 - 1,1175 + 1,57525 - 1,24 = 1,12734 - 0,11125

Temos x ( 1,0 ) e y ( 1,0 ) . Vamos montar uma tabelinha marota, indicando o que nós chamaremos de iteração, a cada passo de n = 0,1   até n = 1 , e os resultados se atualizam a cada iteração, repetindo o processo que calculamos aqui encima:

Resposta

Para h   =   0,2 e 0,1 :   x   =   10,225 ,   y   =   –   4,92862 ;

Se fizer h = 0,05 e 0,025: x = 10,227, y = – 4,9294; estes resultados coincidem com a solução exata em cinco algarismos.

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