Enunciado

Faça o gráfico das duas soluções básicas da equação diferencial e de várias outras soluções. Que aspecto as soluções têm em comum?

9 d 2 y d x 2 + 6 d y d x + y = 0

Passo 1

Aqui temos uma equação diferencial linear de segunda ordem, da forma:

a y ' '   + b y ' + c y = 0

Vamos então achar a equação auxiliar:

9 r 2 + 6 r + 1 = 0

Vamos manipular essa equação:

9 r 2 + 6 r + 1 = 0 → 3 r 2 + 2.3 . r + 1 2 = 0 → 3 r + 1 2 = 0 → 3 r + 1 = 0

Temos que as raízes são   r = - 1 3 , portanto como existe apenas uma raiz real vamos usar a equação 10 :

y = c 1 e - 1 3 x + c 2 x e - 1 3 x

Temos que f x = e - 1 3 x e g x = x e - 1 3 x são as soluções básicas, e temos o gráfico abaixo onde f x é a curva azul e g x a curva vermelha:

Vamos fazer agora de mais duas soluções:

Com y = f x + g x sendo:

Com y = f x - g x sendo:

Elas tem em comum que todas são combinações lineares das soluções básicas.

Resposta

Gráfico da solução básica onde f x é a curva azul e g x a curva vermelha:

Com y = f x + g x sendo:

Com y = f x - g x sendo:

Elas tem em comum que todas são combinações lineares das soluções básicas.

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Resolva o problema de valor de contorno, se possível. 4 y ' ' - 4 y ' + y = y 0 = 4 ,y 2 = 0
Resolva o problema de valor de contorno, se possível y ' ' + 4 y = 0 y 0 = 5 ,y π / 4 = 3
Resolva o problema de valor inicial 2 y ' ' + y ' - y = 0 y 0 = 3 ,y ' 0 = 3
Resolva o problema de valor inicial 4 y ' ' + 4 y ' + 3 y = 0 y 0 = 0 ,y ' 0 = 1
Resolva o problema de valor de contorno, se possível. y ' ' = y ' y 0 = 1 ,y 1 = 2