Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 10 :

(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.

(b) Encontre, também, a matriz fundamental Φ ( t ) que satisfaz Φ ( 0 )   =   I .

x ' = 1 - 1 4 3 2 - 1 2 1 1 x

Passo 1

a) Para encontramos a matriz fundamento é necessário determinar os autovetores e autovalores da matriz que estamos trabalhando.

Caso você não tenha muito firme este assunto, recomendo que você visite a seção de álgebra linear do responde ai, vá em autovetores e autovalores e de uma revisada boa.

Determinando os autovalores:

det ⁡ r ∙ I - P = 0

Em que P = 1 - 1 4 3 2 - 1 2 1 1 :

det ⁡ r ∙ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 - 1 - 1 4 3 2 - 1 2 1 1 = 0

det ⁡ r - 1 1 - 4 - 3 r - 2 1 - 2 - 1 r - 1 = 0

r 3 - 4 r 2 + r - 4 = 0

r - 4 ∙ r 2 + 1 = 0

r 1 = 4

r 2 = i

r 3 = - i

Determinando o autovetor:

r - 1 1 - 4 - 3 r - 2 1 - 2 - 1 r - 1 ∙ ξ 1 ξ 2 ξ 3 = 0 0 0

Temos que:

Para r 1 :

ξ 1 = 1 1 1

Para r 2 :

ξ 2 = - 8 - i 11 + 7 i 5

Para r 3 :

ξ 3 = - 8 + i 11 - 7 i 5

Após a determinação dos autovalores e autovetores aplicaremos a solução geral para o sistema e assim por final será possível encontrar a matriz fundamental.

Passo 2

Aplicando a formula da solução geral temos:

x = c 1 x 1 t + c 2 x ( 2 ) t + c 3 x 3 t

Em que:

x ( 1 ) t = 1 1 1 ∙ e 4 t

E:

x 2 t = - 8 - i 11 + 7 i 5 ∙ e i t

Novamente para a terceira parte:

x 3 t = - 8 + i 11 - 7 i 5 e - i t

Logo a solução geral fica:

x = c 1 1 1 1 ∙ e 4 t + c 2 - 8 - i 11 + 7 i 5 ∙ e i t + c 3 = - 8 + i 11 - 7 i 5 e - i t

Como c 1 e c 2 formam um par fundamental de solução para equação:

x ' = P t x

Temos que a matriz fundamental pode ser determinada:

Ψ t = x 1 … x 2 …   … x n … x n

Aplicando a solução:

Ψ t = e 4 t ( - 8 - i ) ∙ e i t ( - 8 + i ) e - i t e 4 t ( 11 + 7 i ) ∙ e i t ( 11 - 7 i ) e - i t e 4 t 5 ∙ e i t 5 e - i t

Passo 3

b) Note que a notação para uma matriz fundamental arbitraria o livro estará utilizando Ψ e para uma matriz fundamental que satisfaz as condições inicias Φ .

Para determinarmos Φ ( t ) que satisfaz Φ 0 = I , aplicaremos a seguinte formula:

Φ t = Ψ t ∙ Ψ - 1 0

Determinando:

Ψ 0 = 1 - 8 - i - 8 + i 1 11 + 7 i 11 - 7 i 1 5 5

Calculando a inversa:

Ψ ∙ Ψ - 1 = I

Ψ - 1 0 = ⁢ 7 / 17 1 / 17 9 / 17 - 7 - 6 i 170 - 1 - 13 i 170 8 + 19 i 170 - 7 + 6 i 170 - 1 + 13 i 170 8 - 19 i 170

Aplicando a formula temos:

Φ t = Ψ t ∙ Ψ - 1 0

Φ t = e 4 t ( - 8 - i ) ∙ e i t ( - 8 + i ) e - i t e 4 t ( 11 + 7 i ) ∙ e i t ( 11 - 7 i ) e - i t e 4 t 5 ∙ e i t 5 e - i t ⁢ 7 / 17 1 / 17 9 / 17 - 7 - 6 i 170 - 1 - 13 i 170 8 + 19 i 170 - 7 + 6 i 170 - 1 + 13 i 170 8 - 19 i 170

Resposta

a)

Ψ t = e 4 t ( - 8 - i ) ∙ e i t ( - 8 + i ) e - i t e 4 t ( 11 + 7 i ) ∙ e i t ( 11 - 7 i ) e - i t e 4 t 5 ∙ e i t 5 e - i t

b)

Φ t = e 4 t ( - 8 - i ) ∙ e i t ( - 8 + i ) e - i t e 4 t ( 11 + 7 i ) ∙ e i t ( 11 - 7 i ) e - i t e 4 t 5 ∙ e i t 5 e - i t ⁢ 7 / 17 1 / 17 9 / 17 - 7 - 6 i 170 - 1 - 13 i 170 8 + 19 i 170 - 7 + 6 i 170 - 1 + 13 i 170 8 - 19 i 170

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