Enunciado

Em cada um dos problemas de 7 a 16, encontre a solução geral da equação diferencial dada.

9 y ' ' + 9 y ' - 4 y = 0

Passo 1

O começo da nossa seção 3.3, temos uma equação geral dada por a y ' ' + b y ' + c y = 0 , onde a , b e c são números reais. Supondo como solução y = e r t , é possível descrever a nossa solução geral.

Passo 2

Primeiro fazendo uma pequena transformação, tome que

9 y ' ' + 9 y ' - 4 y = y ' ' + y + 4 9 y = 0

Usando a ideia do passo 1, temos que

y ' ' + y - 4 9 y = r 2 e r t + r e r t - 4 9 e r t = 0

Na qual temos que y ' ' = r 2 e r t e y ' = r e r t

Assim temos nossa equação característica dada por

r 2 + r - 4 9 = 0

Agora só precisamos resolver nossa equação de segundo grau. Lembra de Baskara? Tem gente que acha que não serve pra nada hahaha. Resolvendo nossa equação chegamos em

r = - 1 2 ± 5 6

Tendo como solução

y = c 1 e 1 / 3   t + c 2 e - 4 / 3 t

Resposta

y = c 1 e 1 / 3   t + c 2 e - 4 / 3 t

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