Enunciado

Em cada um dos problemas de 17 a 22, encontre a solução do problema de valor inicial. Esboçe o gráfico da solução e descreva seu comportamento para valores cada vez maiores de t .

y ' ' - 2 y ' + 5 y = 0 ,               y π / 2 = 0 ,         y ' π / 2 = 2

Passo 1

O começo da nossa seção 3.3, temos uma equação geral dada por a y ' ' + b y ' + c y = 0 , onde a , b e c são números reais. Supondo como solução y = e r t , é possível descrever a nossa solução geral.

Passo 2

Usando a ideia do passo 1, temos que

y ' ' - 2 y ' + 5 y = r 2 e r t - 2 r e r t + 5 e r t = 0

Na qual temos que y ' ' = r 2 e r t e y ' = r e r t .

Assim temos nossa equação característica dada por

r 2 - 2 r + 5 = 0

Agora só precisamos resolver nossa equação de segundo grau. Lembra de Baskara? Tem gente que acha que não serve pra nada hahaha. Resolvendo nossa equação chegamos em

r = 1 ± 2 i

Tendo como solução

y = c 1 e 1 + 2 i t + c 2 e 1 - 2 i t = e t c 1 e 2 i + c 2 e - 2 i

Outra forma de escrevermos nossa solução é utilizando uma transformação pela fórmula de Euler e tomar

y = e t ( C 1 cos ⁡ 2 t + C 2   s e n   2 t )

Perceba que C 1 e C 2 são diferentes de c 1 e c 2 .

Passo 3

Uma vez que encontramos a nossa solução, podemos agora resolver nosso problema de valor inicial. Assim teremos que

y π / 2 = e π / 2 C 1 cos ⁡ π + C 2   s e n   π = e π / 2 C 1 = 0 → C 1 = 0

E

y ' = e t C 1 cos ⁡ 2 t + C 2   s e n   2 t - 2 C 1   s e n   2 t + 2 C 2 cos ⁡ 2 t

onde

y ' π / 2 = e π / 2 0 cos ⁡ π + C 2   s e n   π + 0   s e n   π + 2 C 2 cos ⁡ π = - 2 e π / 2 C 2 = 2

Tendo assim que

C 2 = - e - π / 2

Assim temos que nossa solução é

y ( t ) = - e t - π / 2 s e n   2 t

O que temos é uma função que oscila em torno de t . Se aumentarmos o valores de t , teremos que y aumenta. Assim temos um oscilador crescente.

Resposta

y ( t ) = - e t - π / 2 s e n   2 t

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