Enunciado

Em cada um dos problemas de 7 a 16, encontre a solução geral da equação diferencial dada.

y ' ' + 2 y ' - 8 y = 0

Passo 1

O começo da nossa seção 3.3, temos uma equação geral dada por a y ' ' + b y ' + c y = 0 , onde a , b e c são números reais. Supondo como solução y = e r t , é possível descrever a nossa solução geral.

Passo 2

Usando a ideia do passo 1, temos que

y ' ' + 2 y ' - 8 y = r 2 e r t + 2 r e r t - 8 e r t = 0

Na qual temos que y ' ' = r 2 e r t e y ' = r e r t

Assim temos nossa equação característica dada por

r 2 + 2 r - 8 = 0

Agora só precisamos resolver nossa equação de segundo grau. Lembra de Baskara? Tem gente que acha que não serve pra nada hahaha. Resolvendo nossa equação chegamos em

r 1,2 = - 1 ± 3

r 1 = - 4

r 2 = 2

Tendo como solução

y = c 1 e r 1 ∙ t + c 2 e r 2 ∙ t

Assim temos como solução geral

y = c 1 e - 4 ∙ t + c 2 e 2 ∙ t

Resposta

y = c 1 e - 4 ∙ t + c 2 e 2 ∙ t

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