Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 14, encontre a solução geral da equação diferencial dada.

y ' ' + y ' = 3 sen ⁡ 2 t + t cos ⁡ 2 t

Passo 1

Primeiro encontre a solução do problema homogêneo.

y ' ' + y ' = 0

Então:

r 2 + 1 = 0

r = ± i

Solução homogênea complementar :

y c = c 1 cos ⁡ t + c 2 sen ⁡ t

Como g ( t ) é a soma de um seno ( 3 sen ⁡ 2 t ) e um produto de uma função polinomial e de cosseno t cos ⁡ 2 t , escolhemos o método de coeficientes indeterminados para encontrar a solução específica. Podemos dizer que temos dois problemas:

g 1 t = y ' ' + y = 3 sen ⁡ 2 t

g 2 t = y ' ' + y = t cos ⁡ 2 t

Como não há duplicação de partes de g 1 t e g 2 t em y c (tenha cuidado com os argumentos das funções sen ⁡ 2 t ≠ sen ⁡ t     ), escolhemos a solução particular.

Y = A t + B sen ⁡ 2 t + C t + D cos ⁡ 2 t

Como pode ser explicado no livro, após a apresentação do Caso 3. Em que diz que:

Se a função não homogênea envolver amos c o s ⁡ β t e sen ⁡ β t , será conveniente, em geral, tratar esse termos em conjunto, já que cada uma, individualmente, pode gerar a mesma forma de solução particular, uma função g t = t sen ⁡ t + 2 cos ⁡ t   terá a forma Y ( t ) como:

Y t = A 0 t + A 1 sen ⁡ t + B 0 t + B 1 cos ⁡ t

Desde que sen ⁡ t e cos ⁡ t não sejam soluções da equação homogênea.

Passo 2

Encontramos A, B, C e D inserindo o valor de Y   na equação não homogênea inicial. Se:

y ' ' + y ' = 3 sen ⁡ 2 t + t cos ⁡ 2 t

Substituindo os termos dentro da EDO, teremos:

A t + B sen ⁡ 2 t + C t + D cos ⁡ 2 t ' ' + A t + B sen ⁡ 2 t + C t + D cos ⁡ 2 t = 3 sen ⁡ 2 t + t cos ⁡ 2 t

Devermos derivar o primeiro termo dentro de y ' ' :

A sen ⁡ 2 t + 2 A t + B cos ⁡ 2 t + C cos ⁡ 2 t - 2 C t + D sen ⁡ 2 t ' + A t + B sen ⁡ 2 t + C t + D cos ⁡ 2 t = 3 sen ⁡ 2 t + t cos ⁡ 2 t

Agora, derivando pela segunda vez o termo pertencente a y ' ' :

A - 2 D sen ⁡ 2 t + 2 A t cos ⁡ 2 t + + 2 B + C cos ⁡ 2 t - 2   C t sen ⁡ 2 t ' + A t + B sen ⁡ 2 t + C t + D cos ⁡ 2 t = 3 sen ⁡ 2 t + t cos ⁡ 2 t

Depois de derivar, teremos:

2 A - 2 D cos ⁡ 2 t + 2 A cos ⁡ 2 t - 4 A t sen ⁡ 2 t - 2 2 B + C sen ⁡ 2 t - 2 C sen ⁡ 2 t - 4 C t cos ⁡ 2 t + A t + B sen ⁡ 2 t + C t + D cos ⁡ 2 t = 3 sen ⁡ 2 t + t cos ⁡ 2 t

Unindo os termos em comum, teremos:

4 A - 4 D + D cos ⁡ 2 t + - 4 A + A t sen ⁡ 2 t - 4 B + 4 C - B sen ⁡ 2 t + - 4 C + C t cos ⁡ 2 t = 3 sen ⁡ 2 t + t cos ⁡ 2 t

Simplificando os termos, temos:

4 A - 3 D cos ⁡ 2 t + - 3 A t sen ⁡ 2 t - 3 B + 4 C sen ⁡ 2 t + - 3 C t cos ⁡ 2 t = 3 sen ⁡ 2 t + t cos ⁡ 2 t

Podemos igualar os termos sen ⁡ 2 t e cos ⁡ 2 t , podemos montar um sistema de equações:

4 A - 3 D = 0 - 3 A = 0 - 3 B - 4 C = 3 - 3 C = 1

Observando as equações, temos:

- 3 A = 0

A = 0

Substituindo, temos:

4 A - 3 D = 0

- 3 D = 0

D + 0

Na outra equação:

- 3 C = 1

C = - 1 3

Substituindo na última equação restante, teremos:

- 4 B - 4 C = 3

- 4 B - 4.1 3 = 3

B = - 5 9

Logo, teremos : A = D = 0 , C = - 1 3 e B = - 5 9 .

A parte particular da equação será dada por:

Y = A t + B sen ⁡ 2 t + C t + D cos ⁡ 2 t

Y = - 5 9 sen ⁡ 2 t - 1 3 t cos ⁡ 2 t

A solução geral da nossa EDO é dada por:

y = y c + Y

y = c 1 cos ⁡ t + c 2 sen ⁡ t - 5 9 sen ⁡ 2 t - 1 3 t cos ⁡ 2 t

Resposta

y = c 1 cos ⁡ t + c 2 sen ⁡ t - 5 9 sen ⁡ 2 t - 1 3 t cos ⁡ 2 t

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