Enunciado

Substâncias dissolvidas em um aquífero são transportadas por dois mecanismos separados. O processo pelo qual um soluto é transportado pelo grande movimento do fluxo da água subterrânea é chamado de advecção. Além disso, o soluto é espalhado pelas flutuações em escala pequena na velocidade da água subterrânea ao longo de caminhos tortuosos do fluxo dentro de poros individuais, um processo chamado de dispersão mecânica. A forma unidimensional da equação de advecção-dispersão para uma substância dissolvida não reativa em um meio poroso isotrópico homogêneo saturado sob um fluxo uniforme regular é

em que c(x, t) é a concentração do soluto, υ é a velocidade linear média da água subterrânea, D é o coeficiente da dispersão hidrodinâmica e L é o comprimento do aquífero. Suponha que as condições de contorno são

e que a condição inicial é

em que f(x) é a concentração inicial dada do soluto.

Seja μ² = λ – (υ²/4D²). Mostre que as autofunções são.

em que μn satisfaz a equação

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos as deformações verticais de uma barra em suas condições de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser reescrever a equação diferencial.

X n x = e v x 2 D sin ⁡ ( μ n x )  

X n ' x = e v x 2 D v 2 D sin ⁡ μ n x + μ n cos ⁡ μ n x

Com isso, teremos o seguinte sistema de equações:

1 T t d T d t = λ D 1 X x d 2 X d x 2 - ( v / D ) X x d X d x   = λ  

T ' - λ D T = 0 X ' ' - v D X ' - λ X = 0  

Lembrando que:

x = L

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

tan ⁡ μ n L =   - 2 D v μ n

X ' ' - v D X ' - λ X = 0

Resolvendo essa equação, temos que:

μ n ² = λ - v 2 4 D 2

Resposta

μ n ² = λ - v 2 4 D 2

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Resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução..
Considere o problema em que α é uma constante dada. Mostre que, para todos os valores de α, existe uma sequência infinita de autovalores positivos.
Considere o problema em que α é uma constante dada. Se α1, mostre que existe exatamente um autovalor negativo e que esse autovalor diminui quando a aumenta.
Determine os autovalores reais e as autofunções associadas..
Suponha que todos os autovalores são reais.Determine se λ = 0 é um autovalor.