Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equações dado.

x ' = - 4 2 2 - 1 x + t - 2 t - + 4

Passo 1

Primeiramente vamos determinar os autovalores e autovetores do sistema, determina a solução geral para um sistema homogêneo e por final iremos trabalhar com sistema não homogêneo.

Determinado os autovalores e autovetores:

Para isto utilizaremos a seguinte relação:

A - r I ξ = 0

Em que os autovalores serão as raízes do d e t ⁡ ( A - r I ) .

Determinando os autovalores:

det ⁡ A - r I = - 4 2 2 - 1 - r 0 0 r

det ⁡ A - r I = - 4 - r 2 2 - 1 - r

det ⁡ A - r I = r 2 + 5 r

Tendo as raízes:

r 1 = 0

r 2 = - 5

Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando r = 0 , temos:

A - r I ξ = 0

- 4 2 2 - 1 ∙ ξ 1 ξ 2 = 0

Reduzindo o sistema para:

4 ξ 1 = 2 ξ   2

Para r = 0 :

ξ 1 = 1 2

Vamos agora determinar o autovetor associado a segunda solução do sistema homogêneo. Perceba que neste caso possuímos autovalores repetidos portanto, temos eu encontrar outro autovetor que satisfaça o primeiro autovetor, colocando r = 0 , temos:

A - r I v = ξ

1 2 2 4 ∙ v v ' = 1 2

Reduzindo o sistema para:

v + 2 v ' = 1

Para r = - 5 :

v = - 2 1

Caso o sistema fosse homogêneo a solução geral seria:

x = c 1 x 1 + c 2 x 2

x = c 1 1 2 + c 2 - 2 1 e - 5 t

Passo 2

Agora vamos determinar a solução para um sistema não homogêneo, que é objetivo do exercício:

Primeiramente vamos escrever a matriz T que é formada pelos autovetores associados matriz inicial, e calcularemos a inversa de T .

T = 1 - 2 2 1

Determinado a aí inversa de T , invertendo a posição dos itens diagonal principal, invertendo o sinal da outra diagonal e sendo multiplicado pelo inverso de seu determinante, temos:

T - 1 = 1 5 1 2 - 2 1 = 1 / 5 2 / 5 - 2 / 5 1 / 5

Tendo x = T y , assumindo t - 2 t - + 4 = g t substituiremos na equação inicial:

x ' = A x + g t

T y ' = A T y + g t

Multiplicando toda equação por T - 1 temos:

T - 1 T y ' = T - 1 A T y + T - 1 g t

Resultando em:

y ' = D y + h t

Em que D é matriz com diagonal principal formada pelos autovalores e h t = T - 1 g t .

Com isto enunciado podemos escrever a equação:

y ' = D y + T - 1 g t

Executando o que acabos de ilustrar:

x = T y

x ' = - 4 2 2 - 1 x + t - 2 t - + 4

1 - 2 2 1 y ' = 1 - 2 2 1 - 4 2 2 - 1 y + t - 2 t - + 4

Multiplicando toda equação por T - :

T - 1 1 - 2 2 1 y ' = T - 1 1 - 2 2 1 - 4 2 2 - 1 y + T - 1 t - 2 t - + 4

I y ' = T - 1 A T y + 1 / 5 2 / 5 - 2 / 5 1 / 5 t - 2 t - + 4

y ' = 0 0 0 - 5 y + 8 5 + t - 4 / 5

y ' = 0 0 0 - 5 y 1 y 2 + 8 5 + t - 4 / 5

Passo 3

Possuímos um sistema que tem duas variáveis lineares independentes não homogêneas, e por isto podemos resolver pelo método da variação de constantes.

y ' = 0 0 0 - 5 y 1 y 2 + 8 5 + t - 4 / 5

Temos que y 1 ’:

y 1 ' = 8 / 5 + t - 1

Tendo y 2 ' :

y 2 ' = - 5 y 2 + 4 / 5

Resolvendo o sistema de equações, temos:

Integrando dos dois lados da equação y 1 ' , fica:

y 1 ' = 8 / 5 + t - 1

y 1 = 8 5 t + ln ⁡ t + C 1

Para y 2 ' , temos que determinar a solução homogênea dela antes, portanto:

y 2 ' = - 5 y 2

y 2 = C e - 5 t

Assumindo que C é uma variável dependente de t , então temos:

y 2 ' = C ' t e - 5 t - 5 C t e - 5 t

Tendo a equação inicial, fica:

y 2 ' = C ' t e - 5 t - 5 C t e - 5 t

Em que - 5 C e - 5 t = y 2 :

y 2 ' = C ' t e - 5 t = 4 5

Derivando:

C t = 4 25 e - 5 t + C 2

Temos:

y 2 = 4 25 + C 2 e - 5 t

Tendo resultado final como:

x = T ∙ y 1 y 2  

x = 1 - 2 2 1 ∙ 8 5 t + ln ⁡ t + C 1 4 25 + C 2 e - 5 t  

Efetuando a multiplicação temos:

x = c 1 1 2 + c 2 - 2 1 + ln ⁡ t 1 2 + t 8 / 5 16 / 5 + - 8 / 25 4 / 25

Resposta

x = c 1 1 2 + c 2 - 2 1 + ln ⁡ t 1 2 + t 8 / 5 16 / 5 + - 8 / 25 4 / 25

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