Enunciado

Em cada um dos problemas de 13 a 20, a matriz de coeficientes contém um parâmetro α. Em cada um desses problemas:

(a) Determine os autovalores em função de α.

(b) Encontre o valor ou valores críticos de α em que muda a natureza qualitativa do retrato de fase para o sistema.

(c) Desenhe retratos de fase para um valor de α ligeiramente menor, e para outro valor ligeiramente maior, do que cada valor crítico.

x ' = 4 α 8 - 6 x

Passo 1

Calculando os determinantes teremos:

det ⁡ 4 - r α 8 - 6 - r = 0

4 - r - 6 - r - 8 α = 0

r 2 + 6 - 4 r - 24 - 8 α = 0

r 2 + 2 r - 24 + 8 α = 0

Fazendo Bhaskara nessa resposta teremos:

r 1 ; r 2 = - 2 ± 4 + 4 × ( 24 + 8 α ) 2

r 1 ; r 2 = - 1 ± 25 + 8 α

Passo 2

O sistema muda de comportamento quando Δ = 0 ou seja:

25 + 8 α = 0 → α = - 3.125

Isso é quando α < - 3.125 o sistema é estável porém oscilante pois terá raízes complexas e conjugadas.

Agora quando o sistema começa a apresentar uma raiz nula é em :

25 + 8 a = 1

α = - 3

Então na região:

- 3.125 < α < - 3

O sistema terá pelo menos um autovalor instável e quando α > - 3 os dois autovalores serão instáveis.

Passo 3

α = - 3.5

α = - 3.1

α = - 2

Resposta

a )   r 1 ; r 2 = - 1 ± 25 + 8 α

b )   P a s s o   2

c )   I m a g e n s   d o   p a s s o   3

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