Enunciado

Em cada um dos problemas de 13 a 20, a matriz de coeficientes contém um parâmetro α. Em cada um desses problemas:

(a) Determine os autovalores em função de α.

(b) Encontre o valor ou valores críticos de α em que muda a natureza qualitativa do retrato de fase para o sistema.

(c) Desenhe retratos de fase para um valor de α ligeiramente menor, e para outro valor ligeiramente maior, do que cada valor crítico.

x ' = α 10 - 1 - 4 x

Passo 1

Fazendo os autovalores dessa matriz aí nós teremos:

det ⁡ α - r 10 - 1 - 4 - r = 0

Que é só fazer essa determinante ai pai:

α - r - 4 - r + 10 = 0

r 2 + 4 - α r + 10 - 4 α = 0

Agora fazendo Bhaskara teremos:

r 1 ; r 2 = α - 4 2 ± 4 - α 2 - 4 ( 10 - 4 α ) 2

r 1 ; r 2 = α - 4 2 ± α 2 + 8 α - 24 2

Passo 2

Esse sistema já é mais complexo, pois a equação do segundo grau dentro do delta tem raízes em :

- 4 + 2 10   e - 4 - 2 10

Aproximadamente - 10 e 2 .

De modo que temos um número negativo quando - 4 - 2 10 < a < - 4 + 2 10 , logo o sistema terá polos complexos e conjugados. Fora desse intervalos temos um sistema com autovalores reais e distintos.

A instabilidade vem quando ultrapassamos a barreira de α = - 4 + 2 10 e α - 4 2 começa a anular com + α 2 + 8 α - 24 2 , ou seja:

α - 4 2 = 1 2 α 2 + 8 α - 24

E que será e, α = 2.5

Além de que o termo α - 4 2 nos dirá a estabilidade do sistema, então se α < 4 o sistema será estável. De modo que tenhamos a seguinte tabela.

A diferença é que em - 4 + 2 10 < α < 2.5

Temos apenas um autovalor positivo e em α > 2.5 é certo que os dois autovalores são positivos

Passo 3

Para α = - 11 :

α = - 5

α = 2.4

α = 2.6

α = 4

Resposta

a )   r 1 ; r 2 = α - 4 2 ± α 2 + 8 α - 24 2

b )   E x p l i c a ç ã o   d o   P a s s o   2

c )   I m a g e n s   d o   P a s s o   3

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