Enunciado

28- Uma massa m em uma mola com constante k satisfaz a equação diferencial (veja a Seção 3.7 )

m v ' ' + k v = 0

Em que v ( t ) é o deslocamento da massa no instante t a partir de sua posição de equilíbrio.

( a ) Sejam x 1 = v e x 2 = v ' ; mostre que o sistema resultante é

( b )   Encontre os autovalores da matriz para o sistema no item ( a )

( c ) Esboce diversas trajetórias do sistema. Escolha uma de suas trajetórias e esboce os gráficos correspondentes de x 1 e de x 2 em função de t . Esboce ambos os gráficos no mesmo conjunto de eixos

( d ) Qual é a relação entre os autovalores da matriz de coeficientes e a frequência natural do sistema mola massa?

Passo 1

Como x 1 = v e x 2 = v ' então podemos dizer que:

x 1 ' = x 2

E que:

m v ' ' + k v = 0

(O enunciado está errado!)

m x 2 ' + k x 1 = 0

x 2 ' = - k x 1 m

Então, arrumando na matriz de coeficientes nós teremos:

x ' = x 1 ' x 2 ' = 0 1 - k / m 0 x 1 x 2

Passo 2

Os autovalores dessa matriz serão:

det ⁡ 0 - r 1 - k m 0 - r = 0

r 2 + k m = 0

r = ± - k m

Então os autovalores serão:

r = ± k m i

Passo 3

Vamos supor que k = 2 e m = 1   e ver o campo direcional:

Quando x 1 = x 2 = 1 teremos o seguinte caminho:

Com x 1 sendo a horizontal.

E a equação característica de x 1 e x 2 são iguais a:

x = c 1 ξ 1 e r t + c 2 ξ 2 e r t

Porém como r é imaginário então os autovetores para r = k m i serão iguais a:

0 - k m i 1 - k m 0 - k m i ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

k m i ξ 1 1 = ξ 2 1

Com autovetor sendo:

ξ 1 = 1 k m i

Então a solução será:

x 1 = 1 k m i cos ⁡ k m t + i s e n k m t  

Arrumando:

x 1 = cos ⁡ k m t - k m s e n k m t + i s e n k m t k m cos ⁡ k m t

Nos dando uma solução geral igual a:

x = c 1 cos ⁡ k m t - k m s e n k m t + c 2 s e n k m t k m cos ⁡ k m t

Lembrando que sempre há outras formas de representar a mesma coisa!

E notou que a frequência natural é igual ao autovalor que é de k / m ? É nessas horas que a matemática e a física se misturam, e isso diz muito sobre o conceito do autovalor.

Resposta

b )   r = ± k m i

c ) x = c 1 cos ⁡ k m t - k m s e n k m t + c 2 s e n k m t k m cos ⁡ k m t

d )   ω = k m

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