Enunciado

Em cada um dos problemas de 13 a 20, a matriz de coeficientes contém um parâmetro α. Em cada um desses problemas:

(a) Determine os autovalores em função de α.

(b) Encontre o valor ou valores críticos de α em que muda a natureza qualitativa do retrato de fase para o sistema.

(c) Desenhe retratos de fase para um valor de α ligeiramente menor, e para outro valor ligeiramente maior, do que cada valor crítico.

x ' = 3 α - 6 - 4 x

Passo 1

Tirando os autovetores desse sistema teremos:

det ⁡ 3 - r α - 6 - 4 - r = 0

3 - r - 4 - r + 6 α = 0

r 2 + 4 - 3 r - 12 + 6 α = 0

r 2 + r + 6 α - 12 = 0

Tirando Bhaskara nessa equação do segundo grau teremos:

r 1 ; r 2 = - 1 ± 1 - 4 ( 6 α - 12 ) 2

r 1 ; r 2 = - 1 2 ± 1 2 1 - 24 α + 48

r 1 ; r 2 = - 1 2 ± 1 2 4 9 - 24 α

Esse sistema será oscilante se:

4 9 - 24 α < 0

Ou seja:

α > 4 9 24

E será um sistema estável, pois a parte real é negativa.

Então para α < 4 9 / 24 temos autovalores reais e diferentes.

E esse sistema começará a ser instável quando:

- 1 2 + 1 2 4 9 - 24 α > 0

1 < 4 9 - 24 α

1 < 4 9 - 24 α

4 8 > 24 α

α < 2

Isso quer dizer que há um intervalo entre 2 e 4 9 24 onde o sistema ainda é estável e não é oscilante.

Passo 2

  α = 2.5

α = 1.5

α = 2

α = 2.03  

Resposta

a )   r 1 ; r 2 = - 1 2 ± 1 2 49 - 24 α

b )   E x p l i c a ç ã o   d o   p a s s o   1

c )   I m a g e n s   d o   p a s s o   3

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Considere o sistema x ' = A x = 5 - 3 - 2 8 - 5 - 4 - 4 3 3 x d) Uma escolha conveniente para η é ( 0 ,0 ,1 ) T . Encontre o ξ correspondente usando a Eq. (iv).Verifique se ξ é um autovetor.
Considere o sistema x ' = A x = 5 - 3 - 2 8 - 5 - 4 - 4 3 3 x f) Forme a matriz T com o autovetor ξ ( 1 ) na primeira coluna e com o autovetor ξ encontrado no item ( d ) e o autovetor generalizado η n
Considere o sistema x ' = A x = 1 1 1 2 1 - 1 - 3 2 4 x c)Para encontrar uma segunda solução, suponha que x=ξ t e 2 t+η e 2 t . Mostre que ξ e ηsatisfazem as equações ( A–2 I ) ξ=0 ,( A–2 I ) ˚=ξ Como
Considere o sistema x ' = A x = 5 - 3 - 2 8 - 5 - 4 - 4 3 3 x c) A Eq. (iii) será satisfeita se ξ for um autovetor; logo, um modo de proceder é escolher ξ como uma combinação linear apropriada de ξ (
Seja J = λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ Em que 1 é um numero real arbitrário.a)encontre J 2 , J 3 eJ 4 .b)Use um argumento indutivo para mostrar que: J n = λ n n λ n - 1 n n - 1 2 λ n - 2 0 λ n n λ n - 1 0 0 λ n c