Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 6, resolva o sistema de equações dado ou mostre que não tem solução.

3.

x 1 + 2 x 2 - x 3 = 2 2 x 1   + x 2 + x 3 = 1 x 1 - x 2 + 2 x 3 = - 1

Passo 1

Fala galera!!

Nos foi dado o seguinte sistema de equações:

x 1 + 2 x 2 - x 3 = 2 2 x 1   + x 2 + x 3 = 1 x 1 - x 2 + 2 x 3 = - 1

Nosso objetivo é determinar se o sistema de equações tem uma solução ou não.

Passo 2

Para resolves essa questão, podemos escrever o sistema de equações na forma de matriz. Assim temos:

1 2 - 1 2 1 1 1 - 1 2 x 1 x 2 x 3 = 2 1 - 1

Podemos escrever a matriz aumentada para o sistema da seguinte maneira:

1 2 - 1 2 1 1 1 - 1 2 2 1 - 1

Passo 3

Agora, vamos usar as operações de linha para tornar a matriz mais simples de resolver. Assim temos:

1 2 - 1 2 1 1 1 - 1 2 2 1 - 1 L 2 → L 2 - 2 L 1 L 3 → L 3 - L 1 = 1 2 - 1 0 - 3 3 0 - 3 3 2 - 3 - 3

1 2 - 1 0 - 3 3 0 - 3 3 2 - 3 - 3 L 3 → L 3 - L 2 = 1 2 - 1 0 - 3 3 0 0 0 2 - 3 0

Passo 4

A matriz aumentada obtida onde é:

1 2 - 1 0 - 3 3 0 0 0 2 - 3 0

O sistema de equações na forma de matriz é o seguinte:

1 2 - 1 0 - 3 3 0 0 0 x 1 x 2 x 3 = 2 - 3 0

O sistema de equações correspondente é:

x 1 + 2 x 2 - x 3 = 2 - 3 x 2 + 3 x 3 = - 3

Passo 5

Para resolver o sistema equações acima, podemos tomar  x 3 = α (uma constante arbitrária).

Então, a partir da segunda equação do sistema

- 3 x 2 + 3 x 3 = - 3

- 3 x 2 + 3 α = - 3

3 x 2 = 3 + 3 α

x 2 = 1 + α

Substituindo x 2 e x 3 na primeira equação, temos:

x 1 + 2 x 2 - x 3 = 2

x 1 + 2 1 + α - α = 2

x 1 + 2 + 2 α - α = 2

x 1 = - α

Portanto, a solução do sistema de equações dado é  x 1 = - α ,   x 2 = 1 + α ,   x 3 = α .

Aqui,  α  é uma constante arbitrária.

Resposta

x 1 = - α ,   x 2 = 1 + α ,   x 3 = α

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Demonstre a regra do produto (8.58).