Enunciado

Suponha que d e t   A   =   0 e que   y é uma solução de A * y   =   0 . Mostre que, se ( b ,   y )   =   0 para qualquer desses y , então A x   =   b tem solução. Note que isso é a recíproca do Problema 28; a forma da solução é dada pelo Problema 29.

Sugestão: O que a relação A * y   =   0   diz sobre as linhas de A ? Novamente, pode ajudar considerar o caso n   =   2 primeiro.

Passo 1

O resultado pode seguir um resultado padrão em álgebra linear que afirma que R A   =   k e r A * ⊥   ( R A é o intervalo de espaço de A   e k e r A * ⊥   é o espaço de vetores ortogonais para todos os vetores no espaço nulo de A * ). O principal resultado disso é que, se L é um subespaço de um espaço dimensional n , qualquer elemento x do espaço pode ser escrito como x   =   l   +   w , onde l ∈ L e w é ortogonal a todos os elementos de L . No entanto, esse resultado não foi desenvolvido no Capítulo 7, então faremos de maneira diferente. Existem três partes para isso.

Passo 2

Passo 1:

Se A k . é dada como a enésima linha de A (simbolicamente, o ponto preto significa todos os índices da coluna).

( i ) Suponha que a quinta linha da matriz aumentada A b possa ser escrita como uma combinação linear das outras linhas e à , b ~ se A , b sem a enésima linha. Quando x é solução para A x   =   b , a remoção de uma linha não afeta a igualdade, então temos   à x   =   b ~ . Se temos à x   =   b , precisamos verificar se a "linha ausente" satisfaz a equação. Desde que a enésima linha de A b   seja linearmente dependente das outras linhas, podemos escrever e A k = ∑ j ≠ k c j A k   e   b k = ∑ j ≠ k c j A j . k , e A k . x ∑ j ≠ k c j A j . x = ∑ j ≠ k c j b j = b k   portanto, temos A x   =   b .

Em particular, desde que A b tenha linhas linearmente dependentes, podemos remover uma linha sem alterar o espaço da solução e, portanto, podemos continuar esse processo até que todas as linhas restantes sejam linearmente independentes.

Passo 3

Passo 2:

( i i ) Suponha que y seja diferente de zero e A * y = 0 e ( b , y ) = 0 . A primeira equação pode ser escrita como A * y * = y * A = 0 e a segunda b T y - =   y - T b = y * b = 0 . Isso pode ser escrito y * A b   =   0 e, portanto, A b possui pelo menos uma linha que pode ser escrita como uma combinação linear das outras (já que pelo menos um elemento de y é diferente de zero). Além disso, desde que A b tenha linhas linearmente dependentes, podemos encontrar alguns y * envolvendo essas linhas, de modo que y * A b = 0 (significando A * y = 0 e ( b ,   y )   =   0 .

Assim, combinando ( i ) e ( i i ) , podemos assumir que estamos tentando resolver um sistema reduzido da forma à x   =   b ~ onde as linhas de   A   ~ são linearmente independentes. Mostraremos que esse sistema sempre tem uma solução.

Passo 4

Parte 3:

Suponha que estamos procurando uma solução para o sistema à x   =   b ~ , onde as linhas de à são linearmente independentes. Considere a matriz à à * , essa matriz quadrada possui colunas linearmente independentes e, portanto, é invertível. Para ver isso, suponha à à * z = 0 , então z * à à * = à * z , à * z = à * z 2 = 0   , e, como as colunas de à * são linearmente independentes, temos z   =   0 . Portanto, det ⁡ à à * ≠ 0 e, portanto, à à * é invertível.

Agora considere o sistema à à * z = b ~ , vemos que a solução é z = à à * - 1 b . Como à à * z = à ( à * z ) = b ~ , vemos que x = à * z   resolve o problema à x   =   b ~ e, portanto, o sistema original A x   =   b tem uma solução.

Observe que a parte ( i i i ) da solução também pode ser resolvida executando operações de linha apropriadas em   Ã b ~   e mostrando que a matriz reduzida possui uma estrutura do tipo triangular superior que sempre pode ser resolvida de maneira direta.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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