Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 10:

(a) Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em x = 0 .

(b) Determine a equação indicial, a relação de recorrência e as raízes da equação indicial.

(c) Encontre a solução em série ( x > 0 ) correspondente à maior raiz.

(d) Se as raízes forem diferentes e não diferirem por um inteiro, encontre também a solução em serie correspondente à menor raiz.

6. x 2 y ' ' + x y ' + x - 2 y = 0

Passo 1

a) Vamos começar escrevendo a equação na forma geral:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

Como P x = x 2 , podemos dizer que x = 0 é um ponto singular regular, já que isso faz com que o primeiro termo zere.

Se dividirmos os outros termos por P ( x ) e multiplicarmos tudo por x 2 para que a equação fique parecida com a equação de Euler, teremos:

x 2 y ' ' + x x Q x P x y ' + x 2 R x P x y = 0

Agora mostramos que os limites quando x → 0 para cada termo são finitos, e isso prova que o ponto é uma singularidade:

lim x → 0 ⁡ x Q x P x = lim x → 0 ⁡ x x x 2 = 1

lim x → 0 ⁡ x 2 R x P x = lim x → 0 ⁡ x 2 x - 2 x 2 = - 2

Passo 2

b) A solução que buscamos vai ser do tipo:

y = ∑ n = 0 ∞ a n x r + n

E suas derivadas:

y ' = ∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) x r + n - 1

y ' ' = ∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) ( r + n - 1 ) x r + n - 2

Substituindo elas na equação:

x 2 ∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) ( r + n - 1 ) x r + n - 2 + x ∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) x r + n - 1 + x - 2 ∑ n = 0 ∞ a n x r + n = 0

Reescrevendo:

∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) ( r + n - 1 ) x r + n + ∑ n = 0 ∞ a n ( r + n ) x r + n + ∑ n = 0 ∞ a n x r + n + 1 - 2 ∑ n = 0 ∞ a n x r + n = 0

E por fim, deslocamos todos os coeficientes n para n = 1 , isso faz com que os primeiros termos das séries, menos da terceira, precisem ser somados por fora, vai ficar o seguinte:

a 0 ( r 2 - 2 ) x r + n   + ∑ n = 1 ∞ { a n [ r + n r + n - 2 ] + a n - 1 } x r + n = 0

Como a equação tem que ser satisfeita para todo x isso só é possível se os coeficientes que multiplicam cada termo de x no polinômio sejam zero, assim a equação indicial vai ser:

r 2 - 2 = 0

As raízes:

r 1 = 2

r 2 = - 2

E a relação de recorrência então deve ser, para r = 2 :

a n [ 2 + n 2 + n - 2 ] + a n - 1 = 0

a n = - a n - 1 2 + 2 n 2 + n 2 - 2 = - a n - 1 2 n 2 + n 2 = - a n - 1 n ( n + 2 2 )

Como precisamos escrever a n em termos de a 0 , vamos substituir n = 1,2 , 3 , para ver qual é mais ou menos a cara do nosso coeficiente:

a 1 = - a 0 1 ( 1 + 2 2 )

a 2 = - a 1 2 ( 2 + 2 2 )

a 3 = - a 2 3 ( 3 + 2 2 )

Substituindo um no outro:

a 3 = a 1 3 ⋅ 2 ( 3 + 2 2 ) ( 2 + 2 2 ) = - a 0 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ( 3 + 2 2 ) ( 2 + 2 2 ) ( 1 + 2 2 )

Podemos escrever a n assim:

a n = - 1 n a 0 n ! 1 + 2 2 2 + 2 2 … ( n + 2 2 )

Para a raiz r 2 = - 2

a n [ n - 2 n - 2 - 2 ] + a n - 1 = 0

a n = - a n - 1 2 - 2 n 2 + n 2 - 2 = - a n - 1 - 2 n 2 + n 2 = - a n - 1 n ( n - 2 2 )

Dá para ver que fica praticamente a mesma coisa que a outra raiz, mudando apenas o sinal entre parêntesis. Vamos então escrever direto o a n em função de a 0 :

a n = - 1 n a 0 n ! 1 - 2 2 2 - 2 2 … ( n - 2 2 )

Passo 3

c) e d) Como as raízes são diferentes e não diferem por um inteiro, então existem duas soluções linearmente independentes para esse problema. Como já temos as raízes das equações e a solução de recorrência, basta substituirmos na solução que usamos no início:

y = x 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n n ! 1 - 2 2 2 - 2 2 … ( n - 2 2 ) x - 2 + n

Essa é a resposta da letra (c)

y = x - 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n n ! 1 + 2 2 2 + 2 2 … ( n + 2 2 ) x 2 + n

E essa da letra (d).

Repare que adicionamos um termo para n = 0 do lado de fora, porque antes supomos uma solução para n = 0 , mas precisamos mudar os índices para 1 ao longo do problema, então nossa resposta está em termos de n = 1 , e precisamos adicionar o termo que ficou faltando.

Além disso, omitimos a 0 .

Resposta

b r 2 - 2 = 0

r 1 = 2

r 2 = - 2

a n = - 1 n a 0 n ! 1 + 2 2 2 + 2 2 … ( n + 2 2 )

a n = - 1 n a 0 n ! 1 - 2 2 2 - 2 2 … ( n - 2 2 )

( c ) y = x 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n n ! 1 - 2 2 2 - 2 2 … ( n - 2 2 ) x - 2 + n

d y = x - 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n n ! 1 + 2 2 2 + 2 2 … ( n + 2 2 ) x 2 + n

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 12:(a) Encontre todos os pontos singulares regulares da equação diferencial dada(b) Determine a equação indicial e os expoentes na singularidade para cada ponto singula
Em cada um dos problemas de 1 a 12:(a) Encontre todos os pontos singulares regulares da equação diferencial dada(b) Determine a equação indicial e os expoentes na singularidade para cada ponto singula
Em cada um dos problemas de 1 a 12:(a) Encontre todos os pontos singulares regulares da equação diferencial dada(b) Determine a equação indicial e os expoentes na singularidade para cada ponto singula
Em cada um dos problemas de 1 a 12:(a) Encontre todos os pontos singulares regulares da equação diferencial dada(b) Determine a equação indicial e os expoentes na singularidade para cada ponto singula
Em cada um dos problemas de 1 a 12:(a) Encontre todos os pontos singulares regulares da equação diferencial dada(b) Determine a equação indicial e os expoentes na singularidade para cada ponto singula