Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 4, verifique se (0, 0) é um ponto crítico, mostre que o sistema é localmente linear e discuta o tipo e a estabilidade do ponto crítico (0, 0) examinando o sistema linear correspondente.

3)

d x d t = 1 + x ∙ s e n   y ,       d y d t = 1 - x - cos ⁡ y  

Passo 1

verificando se ( 0,0 ) é um ponto crítico, vamos lá.

d x d t = 1 + x ∙ s e n   y ,         d y d t = 1 - x - cos ⁡ y  

Aplicando x , y = 0,0 temos:

d x d t = 1 + 0 ∙ s e n 0 = 0

d y d t = 1 - 0 - cos ⁡ 0 = 1 - 1 = 0

Provamos que a origem é um ponto critico isolado do sistema linear.

Passo 2

Utilizando a expansão de Taylor para d x d t e d y d t temos:

s e n   y = y - O y 3

E

cos ⁡ y = 1 - y 2 2 ! + O y 4

Tendo:

d x d t = 1 + x ∙ y - O y 3 = y + x y + O y 3

E

  d y d t = 1 - x - 1 - y 2 2 ! + O y 4 = - x + y 2 2 - O y 4

Passo 3

Reescrevendo nosso sistema na forma de:

x ' = A x + g x

Temos:

d d t x y = 0 1 - 1 0 x y + x y + O y 3 y 2 2 + O y 4

Agora podemos identificar a nossa g x = x y y 2 2 e verificar o sistema é localmente linear.

Reescrevendo g x na forma polar temos, x = r cos ⁡ θ , y = r   s e n   θ .

g 1 x r = x y r = r   c o s   θ ∙ r   s e n θ r =   r ∙ cos ⁡ θ s e n   θ

Com r → 0 , temos:

g 1 x r = 0

g 2 x r = y 2 / 2 r = r c o s 2 2

Com r → 0 , temos:

g 2 x r = 0

Trabalhando agora com a parte homogênea do nosso sistema temos:

d d t x y = 0 1 - 1 0 x y

Determinando a equação característica por meio:

det ⁡ A - r I

Tendo a equação característica como:

r 2 + 1 = 0

Com raízes características:

r 1 = i ,           r 2 = - i

Consequentemente, temos autovalores complexos. Portanto, se o sistema for linear no ponto 0,0 , o centro do sistema é linear. Caso o sistema não for linear, teremos um espiral no ponto, centro, e a estabilidade será instável.

Resposta

Consequentemente, temos autovalores complexos. Portanto, se o sistema for linear no ponto 0,0 , o centro do sistema é linear. Caso o sistema não for linear, teremos um espiral no ponto, centro, e a estabilidade será instável.

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