Enunciado

Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica. Em caso afirmativo, achar um número c em ( a , b ) , tal que

f ' c = f b - f a b - a

Interpretar geometricamente.

  1. f x = 1 x ; a = 2 ,   b = 3 .

Passo 1

Bom, pessoal, para sabermos se o Teorema do Valor Médio se aplica, precisamos saber se a f ( x ) é contínua no intervalo dado. No intervalo [ 2,3 ] , temos que a função f x = 1 / x é contínua e derivável, pois lim ∆ x → 0 ⁡ f x - ∆ x - f x ∆ x existe para todo x no intervalo.

Assim, vamos calcular f ' ( c ) !

f ' x = - 1 x 2

f ' c = - 1 c 2 = 1 b - 1 a b - a

- 1 c 2 = a - b a b b - a

- 1 c 2 = a - b a b ⋅ 1 b - a

- 1 c 2 = - 1 a b

Vamos substituir os valores aqui. Como a = 2 e b = 3 .

c 2 = 2 × 3

c 2 = 6

c = 6

Passo 2

Interpretação geométrica: a figura que segue mostra que a reta tangente no ponto c , representada pela cor azul é paralela à reta secante que passa nos pontos ( a , f a ) e ( b , f b ) , representada na cor verde.

Resposta

O número c é igual a:

c = 6

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