Enunciado

Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica. Em caso afirmativo, achar um número c em ( a , b ) , tal que

f ' c = f b - f a b - a

Interpretar geometricamente.

(h) f x = 1 - x 2 ; a = - 1 ,   b = 0 .

Passo 1

Bom, pessoal, para sabermos se o Teorema do Valor Médio se aplica, precisamos saber se a f ( x ) é contínua no intervalo dado. No intervalo [ - 1 , 0 ] , temos que a função f x = 1 - x 2 é contínua e derivável.

Assim, vamos calcular f ' ( c ) !

f ' x = - x 1 - x 2

Vamos substituir os valores aqui. Como a = 0 e b = π / 4 .

f ' c = - c 1 - c 2 = 1 - 0 2 - 1 - - 1 2 0 - ( - 1 )

- c 1 - c 2 = 1 - 0 1

- c = 1 - c 2

c 2 = 1 - c 2

2 c 2 = 1

c 2 = 1 2 → c = - 1 2

Passo 2

Interpretação geométrica: a figura que segue mostra que a reta tangente no ponto c , representada pela cor azul é paralela à reta secante que passa nos pontos ( a , f a ) e ( b , f b ) , representada na cor verde.

Resposta

O número c é igual a:

c = - 1 2

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