Enunciado

Uma caixa aberta com uma base quadrada deve ter um volume de k   c m 3 . Ache as dimensões da caixa que posso ser fabricada com um mínimo de material.

Passo 1

Seja a caixa como da figura abaixo:

Onde os lados da base medem a   c m e a altura mede b   c m . O volume desta caixa é dado por:

V = a . a . b ⇒

V = a 2 b

Como, por hipótese, a caixa tem volume de k   c m 3 temos:

a 2 b = k ⇒

b = k a 2 ( 1 )

Note que, como a e b são medidas dos lados da caixa temos a > 0 e b > 0 .

Passo 2

Vamos determinar a área total da caixa.

→   Área da base: a 2 ;

Área lateral: 4 a b ;

Área total: A = a 2 + 4 a b .

De (1):

A = a 2 + 4 a k a 2 ⇒

A = a 2 + 4 k a

Como a equação da área só depende da variável a podemos reescrever:

A a = a 2 + 4 k a ⇒

A a = a 2 + 4 k a - 1

Passo 3

Derivando A ( a ) temos:

A ' a = 2 a - 4 k a - 2 ⇒

A ' a = 2 a - 4 k a 2

Como A ' existe para todo a > 0 , temos que os pontos críticos de A ocorrem quando A ' a = 0 . Assim:

A ' a = 0 ⇒

2 a - 4 k a 2 = 0 ⇒

2 a = 4 k a 2 ⇒

2 a 3 = 4 k ⇒

a 3 = 4 k 2

a 3 = 2 k

a = 2 k 3

Passo 4

Vamos fazer o estudo de sinal da derivada em torno de a = 2 k 3 . Assim:

Se a < 2 k 3 temos A ' a < 0 , logo A ( a ) é decrescente;

Se a > 2 k 3 temos A ' a > 0 , logo A ( a ) é crescente.

Logo, em a = 2 k 3 temos um ponto de mínimo da função A ( a ) . Substituindo em (1) temos:

b = k ( 2 k 3 ) 2

Resposta

Portanto, uma caixa aberta com uma base quadrada com volume de k   c m 3 deve ter 2 k 3   c m de comprimento do lado da base e k ( 2 k 3 ) 2   c m de altura para gastar o mínimo de material.

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