Enunciado

Compare as respostas dos seguintes problemas de construção

a ) uma folha retangular com perímetro 36   c m e dimensões x × y   c m será enrolada para formar um cilindro, como mostra a parte a da figura. Que valores de x e y fornecem maior volume?

b ) a mesma folha sofrerá revolução em torno de um dos seus lados de comprimento y para formar outro cilindro, como indica a parte b da figura. Que valores de x e y fornecem o maior volume?

Passo 1

Letra a

Ele disse que o perímetro é fixo, logo:

2 x + 2 y = 36

x + y = 18

Vamos achar o volume em função de x e y de acordo com a forma que ele rodou.

Aqui na letra a , a altura vai ser y , enquanto x vai ser o comprimento da base.

Assim, sendo r o raio da base,

2 π r = x

r = x 2 π

O volume vai ser:

V = π r 2 h

Com

r = x 2 π

E

h = y

Assim, nosso volume fica:

V = π x 2 π 2 y

V = π x 2 y 4 π 2

V = x 2 y 4 π

Isolando o y na equação do perímetro:

y = 18 - x

Vamos ter:

V = x 2 18 - x 4 π

V = 18 x 2 - x 3 4 π

Onde o valor de x vai de 0 , até 18 . Isso porque o y não pode ser negativo e ele é 18 menos x

Passo 2

Para acharmos o valor de mínimo ou máximo, temos que comparar o valor da função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo.

Primeiro fazemos:

V = 18 x 2 - x 3 4 π

Derivando V ,

V ' = 36 x - 3 x 2 4 π

Fazendo isso igual a 0

36 x - 3 x 2 4 π = 0

3 6 x - 3 x 2 = 0

Colocando 3 x em evidência:

3 x 12 - x = 0

x = 0       o u       12 - x = 0

x = 0       o u       x = 12

Teremos:

x = 0

x = 12

Passo 3

Vamos achar o valor da função nos pontos críticos e extremos do intervalo:

V = x 2 18 - x 4 π

Vamos ter:

x = 0 → V = 0 2 18 - 0 4 π = 0

x = 12 → V = 12 2 18 - 12 4 π = 144.6 4 π = 216 π

x = 18 → V = 18 2 18 - 18 4 π = 0

O maior dos 3 valores é quando x = 12

Então:

y = 6

Passo 4

Vamos ajustar a fórmula do volume para o segundo caso agora:

O volume vai ser:

V = π r 2 h

Com

r = y 2 π

E

h = x

Assim, nosso volume fica:

V = π y 2 π 2 x

V = π y 2 x 4 π 2

V = y 2 x 4 π

Isolando o x na equação do perímetro:

x = 18 - y

Vamos ter:

V = y 2 18 - y 4 π

É a mesma função de antes, so que com a variável y , então ele vai maximizar em

y = 12

E vamos ter:

x = 6

Dessa forma, nas duas letras temos as mesmas dimensões da folha.

Resposta

12 × 6

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