Enunciado

O cocho visto na figura a seguir será construído com as dimensões indicadas. Apenas o ângulo θ pode variar. Que valos de θ maximiza o volume do cocho?

Passo 1

O volume vai ser a área da base vezes 20 , como vimos na figura:

Se olharmos a base como dois triângulo de lado l ' e ângulo θ , junto com um retângulo de lado l ' e altura h , conseguimos achar essa área da seguinte forma:

A t = l ' h sen ⁡ θ 2

A r = l ' h

Falta acharmos o h , para isso, vamos usar a trigonometria:

h l ' = cos ⁡ θ

Assim:

h = l ' cos ⁡ θ

E a área da base ficará:

A = 2 A t + A r

A = l ' l ' cos ⁡ θ sen ⁡ θ + l ' l ' cos ⁡ θ

A = l ' 2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ + l ' 2 cos ⁡ θ

Lembrando que

sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Vamos encontrar:

A = l ' 2 sen ⁡ 2 θ 2 + l ' 2 cos ⁡ θ

O θ vai de 0 até π 2

0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 2

Para acharmos o valor de mínimo ou máximo, temos que comparar o valor da função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo.

Derivando:

A ' = l ' 2 cos ⁡ 2 θ - l ' 2 sen ⁡ θ

Fazendo isso igual a 0

l ' 2 cos ⁡ 2 θ - l ' 2 sen ⁡ θ = 0

Cortando o l ' 2

cos ⁡ 2 θ - sen ⁡ θ = 0

Temos que fazer:

cos ⁡ 2 θ = 1 - 2 sen 2 ⁡ θ

1 - 2 sen 2 ⁡ θ - sen ⁡ θ = 0

Usando

sen ⁡ θ = a

Vamos ter:

1 - 2 a 2 - a = 0

Resolvendo usando bhaskaas,

a = 1 2

a = - 1

Assim

sen ⁡ θ = 1 2 → θ = π 6

sen ⁡ θ = - 1 → θ = 3 π 2

O segundo valor está fora do intervalo, vamos fazer

θ = π 6

Passo 3

Vamos achar o valor da função nos pontos críticos e extremos do intervalo:

A = l ' 2 sen ⁡ 2 θ 2 + l ' 2 cos ⁡ θ

Vamos ter:

θ = 0 → A = l ' 2 sen ⁡ 2 0 2 + l ' 2 cos ⁡ 0 = l ' 2

= ∞

θ = π 6 → A = l ' 2 sen ⁡ 2 π 6 2 + l ' 2 cos ⁡ π 6 = l ' 2 sen ⁡ π 3 2 + l ' 2 cos ⁡ π 6 = l ' 2 1 2 2 + l ' 2 3 2 = l ' 2 4 + l ' 2 3 2

θ = π 2 → A = l ' 2 sen ⁡ 2 π 2 2 + l ' 2 cos ⁡ π 2 = l ' 2 sen ⁡ π 2 + l ' 2 cos ⁡ π 2 = 0

O maior dos 3 valores é quando θ = π 6

Resposta

θ = π 6

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