Enunciado

Caixa com vértice em um plano Encontre o volume da

maior caixa retangular fechada no primeiro octante, tendo três

faces nos planos coordenados e um vértice no plano x/a + y/b

+ z/c = 1, onde a > 0, b > 0 e c > 0.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício encontraremos o volume da maior caixa fechada retangular no primeiro octante, possuindo três faces nos eixos dos planos de coordenadas e o vértice em x a + y b + z c = 1 , onde a > 0 , b > 0 , c > 0

Passo 2

O volume da caixa é dado pela função V = x y z com todos x , y , z positivos. Temos também que

x a + y b + z c = 1

Vamos rearranjar as funções, assim temos:

V = x y z g ( x , y , z ) = b c x + a c y + a b z - a b c = 0

Calcularemos agora os gradientes para aplicarmos o método dos multiplicadores de Lagrange.

∇ V = y z i + x z j + x y k ∇ g = b c i + a c j + a b k

Passo 3

Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange temos:

∇ V = λ ∇ g y z = λ b c x z = λ a c x y = λ a b

Multiplicando a primeira função por x , a segunda por y e a terceira por z chegamos em:

x y z = λ b c x x y z = λ a c y x y z = λ a b z

Passo 4

Assim, nossa conclusão é que λ b c x = λ a c y = λ a b z .CommentStep 4 of 5Se λ b c x = λ a c y = λ a b z então b x = a y , c y = b z , c x = a z . Rearranjando as funções, chegamosa:

y = b a x z = c a x

Substituindo em x a + y b + z c = 1 temos:

x a + y b + c z = 1 x a + 1 b b a x + 1 c c a x = 1 3 x a = 1 x = a 3 ,  o que leva a  y = b a a 3 = b 3  e  z = c a a 3 = c 3

Resposta

Portanto, obtemos como resposta: o volume máximo será então V = x y z = a 3 b 3 c 3 = a b c 27 .

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