Enunciado

Mínima distância à origem Encontre o ponto na superfície

z = xy + 1 mais próximo da origem.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercicio, o nosso objetivo e encontrarmos s o ponto na superficie z = x y + 1 mais próximo da origem. Acompanhe a resolução!

Passo 2

Primeiro, faremos a função f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 ser o quadrado da distância até a origem. Calcularemos, então, os gradientes para cálculo do método dos multiplicadores de Lagrange. Veja:

∇ f = 2 x i + 2 y j + 2 z k ∇ g = y i + x j - k

Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange, teremos:

∇ f = λ ∇ g 2 x i + 2 y j + 2 z k = λ ( y i + x j - k )

Agora, separando as componentes, vamos encontrar:

2 x = λ y 2 y = λ x 2 z = - λ

Para x = λ y 2 :

2 y = λ λ y 2 y = 0  ou  λ = ± 2

Caso 1: Se y = 0 , então x = 0 e z , valerá:

  - z + 1 = 0 z = 1

Caso 2: Se λ = 2 , então x = y e z = - 1 . Teremos, dessa forma:

x 2 - ( - 1 ) + 1 = 0 . 

Ou seja, x 2 + 2 = 0 não possui solução possível.

Passo 3

Caso 3: Se λ = - 2 , então x = - y e z = 1 . Chegando, assim, a:

  ( - y ) y - 1 + 1 = 0 y = 0  (encontrado previamente). 

Sendo assim, o ponto ( 0,0 , 1 ) é o ponto mais próximo da origem que está sobre a superfície. Este também é o único valor extremo encontrado, logo, não há um valor máximo em relação à origem.

Resposta

Resposta nos passos.

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