1.

Determine o valor de máximo e de mínimo de f x , y , z = 6 x + z sobre a curva de interseção das superfícies x 2 + y 2 = 4 e z = x 2 - 2 y 2 .

Resolução
2.

Seja f x , y , z = x 2 + y 2 - z 2 + 3

  1. Mostre que f tem exatamente dois pontos de mínimo e infinitos pontos de máximo na esfera
  2. S = x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1

  3. Determine os pontos de mínimo e de máximo de f no conjunto

D = x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1   e   x + y + z = 1

Resolução
3.

Seja C = x , y , z ∈ R 3 : x - z 2 + y - z 2 = 8   e   x + y + z = 2 . Sabendo que C é um conjunto fechado e limitado, determine os pontos de C que estão mais próximos e mais distantes de 0,0 , 0 .

Resolução
4.

Considere a função f x , y , z = x - 2 y + z 2 e a região R = x , y , z ∈ R 3 : x - 2 y + 2 z = 0   e   2 x 2 + y 2 + z 2 = 9 . A função f tem pontos de máximo e mínimo na região R ? Caso afirmativo, encontre-os.

Resolução
5.

Determine os pontos de R 3 mais próximos e os mais distantes da origem sobre os seguintes conjuntos compactos:

  1. A = x , y , z ∈ R 3   ; x ≥ 0 ,   y ≥ 0 ,   z ≥ 0 ,   x y z = 1   e   z = 3 - x 2 - y 2  
  2. A = x , y , z ∈ R 3   ; x ≥ 0 ,   y ≥ 0 ,   z ≥ 0 ,   x y z = 1   e   z ≤ 3 - x 2 - y 2  
Resolução
6.

Seja C = x , y , z ∈ R 3 : x - z 2 + y - z 2 = 8   e   x + y + z = 2 . Sabendo que C é um conjunto fechado e limitado, determine os pontos de C que estão mais próximos e mais distantes de 0,0 , 0 .

Resolução
7.

Determine os valores de máximo e mínimo da função f x , y , z = x z + 2 y em S , em que S = x , y , z ∈ R 3 x 2 + z 2 + x z + y 2 = 25   e   y ≥ 2 . Você pode admitir, sem justificar, que o problema tem solução.

Resolução
8.

Determine, caso existam, os valores de máximo e mínimo de f x , y , z = y 2 - x z + 6 y sobre os seguinte conjunto:

R = { x , y , z ∈ R 3 : x 2 + 4 y 2 + z 2 = 36   e   y ≤ 2 }

Resolução
9.

Seja f x , y , z = x 2 + y 2 - z 2 + 3

  1. Mostre que f tem exatamente dois pontos de mínimo e infinitos pontos de máximo na esfera
  2. S = x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1

  3. Determine os pontos de mínimo e de máximo de f no conjunto

D = x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1   e   x + y + z = 1

Resolução
10.

Seja f x , y , z = x 2 - 4 y 2 + 2 z ² . Obtenha os valores máximo e mínimo de f no compacto K = { x , y , z ∈ R 3   :   x 2 + y 2 + 2 z ² ≤ 4 e z = x + y - 2 }

Resolução
11.

Seja f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - x y - 2 z . Encontre os pontos de máximo e mínimo de f no conjunto K = { x , y , z ∈ R 3   :   x 2 + y 2 + z 2 ≤ 3 e z ≥ - 1 } .

Resolução
12.

Seja C a elipse determinada pela interseção das superfícies x 2 + y 2 - z 2 = 0 e x + 2 z = 4 . Determine o(s) ponto(s) de C mais próximo(s) do ponto P = - 3,0 , 2 . Explicite a função utilizada e justifique todas as passagens.

Resolução
13.

Considere a função f x , y , z = x - 2 y + z 2 e a região R = x , y , z ∈ R 3 : x - 2 y + 2 z = 0   e   2 x 2 + y 2 + z 2 = 9 . A função f tem pontos de máximo e mínimo na região R ? Caso afirmativo, encontre-os.

Resolução
14.

Determine a menor e a maior distancia entre a origem e o compacto

C = x , y , z ∈ R 3   ; x + y + z = 1   e   z = 1 - x 2 - y 2  

Resolução
15.

Determine o valor de máximo e de mínimo de f x , y , z = 6 x + z sobre a curva de interseção das superfícies x 2 + y 2 = 4 e z = x 2 - 2 y 2 .

Resolução
16.

Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo da função

f x , y , z = x y + z

Restrita aos pontos da curva dada pela interseção do plano

x + y + z = 1

Com a esfera unitária

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Resolução
17.

Encontre os valores máximo e mínimo da função

f x , y , z = x

Sobre a curva de interseção do plano

z = x + y

Com o elipsoide

x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 = 8

Resolução
18.

Determine, caso existam, os pontos de máximo e mínimo da função f x , y , z = 2 x 2 - y 2 - z 2 sobre o conjunto D = x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 + z - 1 2 ≤ 5   e   x + z = 2 .

Resolução
19.

Enconte, caso existam, os pontos de máximo e mínimo absolutos da função

f x , y , z = 4 x 2 + 4 y 2 + 2 z

Para ( x , y , z ) pertencente à curva ϵ que é dada pela interseção do cilindro

x 2 + y 2 = 5

E o plano

2 x + 3 y + 2 z = 0

Resolução
20.

A interseção entre plano x + y + 2 z = 3 e cone z 2 = 2 x 2 + 2 y 2 é uma elipse C .

a) Esboce o cone, o plano e a elipse.

b) Determine os pontos na elipse C que estejam mais próximo e mais distante da origem.

Dica: use a fórmula da distância no espaço com três dimensões. Para facilitar as contas, você pode elevar esta fórmula ao quadrado (explique o porquê).

Resolução
21.

Seja f x , y , z = x + y + z . Considere a curva C dada pela interseção das superfícies de equações x 2 + y 2 = 1 e x + y - z = 1 . Então, o valor máximo de f x , y , z em C é:

  1. 2 2 + 1
  2. 3
  3. 2 2 - 1
  4. 3 2
  5. Não sei
Resolução
22.

Determine o volume máximo de uma caixa retangular cuja superfície tem 2   m 2 e a soma dos comprimentos de todas as arestas é 8   m

Resolução
23.

Quais são os pontos da interseção entre o paraboloide z = x 2 + y 2 - 3 e o x + 2 y + 3 z = 6 que estão mais próximos da origem? Qual é esta menor distância?

Resolução
24.

Use o método dos multiplicadores de lagrange para determinar o ponto de máximo da função f x , y , z = 8 x 2 + 4 y z - 16 z + 600 sobre a superfície 4 x 2 + y 2 + 4 z 2 = 16 .

Resolução
25.

Determine o volume máximo de uma caixa retangular cuja superfície tem 8   m 2 e a soma dos comprimentos de todas as arestas é 16   m

Resolução
26.

Determine o volume máximo de uma caixa retangular cuja superfície tem 4   m 2 e a soma dos comprimentos de todas as arestas é 10   m

Resolução
27.

O plano x = z corta o paraboloide x = y 2 + z 2 em uma elipse. Ache o ponto desta curva mais próximo da origem, e o mais distante. Use o método de Lagrange.

Sugestão: Esboce o gráfico.

Resolução
28.

Encontre, caso existam, os pontos de máximo e mínimo absolutos da função

f x , y , z = 4 x 2 + 4 y 2 + 2 z

Para ( x , y , z ) pertencente à curva ϵ   que é dada pela interseção do colindro

x 2 + y 2 = 5

E o plano

2 x + 3 y + 2 z = 0

Resolução
29.

O plano x + y + z = 1 corta o cilindro x 2 + y 2 = 1 z ∈ R . Determine o ponto desta intersecção que está mais próximo e o que está mais distante da origem.

Resolução
30.

Sejam m e n respectivamente, as distancias máxima e mínima entre os pontos que estão na interseção das superfícies

2 x - z = 0

x 2 + y 2 = 1

E a origem. É correto afirmar que:

  1. m e n não existem
  2. m = 5   e   n = 1
  3. m = 5 e   n = 2
  4. m = 5   e   n = 1
  5. m = 1 2 e   n = 1 5
Resolução
31.

Sejam m e n respectivamente, as distancias máxima e mínima entre os pontos que estão na interseção das superfícies

2 x - z = 0

2 x 2 + y 2 = 1

E a origem. É correto afirmar que:

  1. m e n não existem
  2. m = 5 / 2   e   n = 1
  3. m = 5 2   e   n = 1
  4. m = 2   e   n = 5 2
  5. m = 1   e   n = 2 5
Resolução
32.

Um copo parabólico, cuja superfície é dada por

z = x 2 + y 2

Contém um pouco de água e está fixo ao painel de um carro em movimento. Num certo momento, o carro freia constantemente, fazendo com que a água se desloque para frente de forma que a superfície da água pertença ao plano

x + y + 2 z = 2

No momento descrito, existe um ponto de S mais alto em relação ao painel, que é o plano z = 0 , e existe um ponto de S mais baixo. Verifique se é possível aplicar o método de Lagrange para determinar tais pontos e as suas respectivas alturas em relação ao painel, e em caso afirmativo, proceda com o método.

DICA: perceba que a borda de S é exatamente a interseção do paraboloide com o plano.

Resolução
33.

Seja C a curva de interseção entre as superfícies

x 2 - x y + y 2 - z 2 = 1

E

x 2 + y 2 = 1

Determine os pontos de C que estão mais próximos da origem.

Resolução
34.

Seja

C = x , y , z ∈ R 3   : x y z = 1     e     x 2 + y 2 = 1

Usando o método dos Multiplicadores de Lagrange para funções de três variáveis, determine os pontos de C mais próximos da origem.

Resolução
35.

Seja

C = x , y , z ∈ R 3   : x y z = 1     e     x 2 + y 2 = 4

Usando o método dos Multiplicadores de Lagrange para funções de três variáveis, determine os pontos de C mais próximos da origem.

Resolução
36.

Use o Método dos Multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos da elipse, determinada pela interseção do plano x + y + z = 1 com o cilindro x 2 + y 2 = 1 que estão mais próximo da origem e mais distante da origem.

Resolução

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