Enunciado

Com uma calculadora programável (ou um computador), é possível calcular as expressões para a soma das áreas dos retângulos aproximantes, mesmo para valores grandes de n , usando looping. (Em uma TI use o comando Is>; em uma Casio use Isz; em uma HP ou no BASIC use um loop FOR-NEXT). Compare a soma das áreas dos retângulos aproximantes utilizando subintervalos iguais e extremos direitos para n = 10 , 30 , e 50 . Então conjecture sobre o valor da área exata. A região é a sob y = 1 / x 2 de   1 até 2.

Passo 1

Não vamos mostrar como fazer para um programa ou calculadora específica, mas vamos ver qual é a ideia por trás da conta. Queremos aproximar a área debaixo da curva y = sen ⁡ x pela soma de retângulos. Se dividirmos nosso intervalo de 0 a   π em n partes, temos intervalinhos de tamanho:

Δ x =   2 - 1 n = 1 n

Cada intervalinho nosso pode ter um número i associado, com i indo de 1 a n . Cada intervalo então termina no número ( 1 + i Δ x ) = 1 + i n . Por exemplo, o primeiro intervalo termina no 1 + 1 n , o segundo no 1 + 2 n e assim sucessivamente até o enésimo intervalinho terminar no 1 + n n = 1 + 1 = 2 . Cada retângulo deve ter a base Δ x = 1 n e como altura o valor da função no final do intervalo, que é f 1 + i n = 1 / 1 + i n 2 . Então a área de cada retângulo é:

Δ x ⋅ f 1 + i n = 1 n ⋅ 1 1 + i n 2 = 1 n 1 + i n 2

E temos que fazer esse somatório com i indo de 1 até n :

A = ∑ i = 1 n 1 n 1 + i n 2

Agora podemos usar um programa para fazer o calculo usando iterações, começando com A = 0 e i = 1 , acrescentando o valor de 1 n 1 + i n 2 a A e aumentando i em uma unidade até chegar em i = n .

Passo 2

Aplicando o processo para n = 10 , n = 30 e n = 50 , temos os seguintes resultados:

∑ i = 1 10 1 n 1 + i n 2 = 0.463955

∑ i = 1 30 1 n 1 + i n 2 = 0.487661

∑ i = 1 30 1 n 1 + i n 2 = 0.492558

Como podemos ver, parece que quando aumentamos n a soma se aproxima de A = 0.5 , então esse deve ser o valor da área sob a curva.

Resposta

n = 10 ⇒ A = 0.463955

n = 30 ⇒ A = 0.487661

n = 50 ⇒ A = 0.492558

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Nos Exercícios de 21 a 36, use o método desta secção para calcular a área da região dada; use retângulos inscritos ou circunscritos, conforme indicado. Para cada exercício, faça uma figuramostrando a
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