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Com uma calculadora programável ou computador (veja as instruções para o Exercício 9 da Seção 5.1), calcule as somas de Riemann esquerda e direita para a função f x = sen ⁡ ( x 2 ) no intervalo [ 0,1 ] com n = 100 . Explique por que essas estimativas mostram que

0,306 < ∫ 0 1 sen ⁡ ( x 2 ) d x < 0,315 .

Deduza que a aproximação usando a Regra do Ponto Médio com n = 5 no Exercício 11 é precisa até a segunda casa decimal.

Passo 1

Vemos a solução do exercício 5.1.9 para um possível algoritmo para calcular a soma.

Nosso delta é:

∆ x = 1 - 0 100 = 0,01

Nossos pontos extremos de subintervalos serão: 1 ,   1.01 ,   1.02 ,   … 1.99 ,   2 .

Passo 2

Com isso, nós calculamos que a nossa soma esquerda de Riemann é

L 100 = ∑ i = 1 100 sen ⁡ ( x i - 1 2 ) ∆ x ≈ 0.30607

E a soma direita é

R 100 = ∑ i = 1 100 sen ⁡ ( x i 2 ) ∆ x ≈ 0.3 1448

Passo 3

Como f é uma função crescente, temos que L 100 ≤ ∫ 0 1 sen ⁡ x 2 d x ≤ R 100 , então:

0.306 < L 100 ≤ ∫ 0 1 sen ⁡ x 2 d x ≤ R 100 < 0.315

Assim sendo, o valor de aproximação 0.3084 ≈ 0.31 no exercício 11 deve ser acurado para duas casa decimais

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