Enunciado

Descreva a mudança no gráfico de   f à medida que c varia. Faça o gráfico de vários membros da família para ilustrar as tendências que você descobriu. Em particular, você deve investigar como os pontos de máximo e mínimo e os pontos de inflexão movem-se quando c varia. Você deve também identificar qualquer valor intermediário de c no qual o aspecto básico da curva mude.

f x = e - c x 2

Passo 1

Temos os seguintes esboços da nossa função:

Com c = 0 , nós temos o gráfico de y = 1 . Para c > 0 , notamos que há uma assíntota horizontal em y = 1 , e o gráfico se espalha conforme c aumenta. Na primeira janela, aparentemente há um ponto mínimo em ( 0,0 ) , mas f ( 0 ) é indefinida, então não há máximo ou mínimo. Para c > 0 , nós ainda temos uma assíntota horizontal em y = 1 , mas o alcance é ( 1 , ∞ ) em vez de ( 0,1 ) . Nós também temos uma assíntota vertical em x = 0 .

Passo 2

Derivando f :

f ' x = e - c x 2 - 2 c x 3

f ' ' x = 2 c 2 c - 3 x 2 x 6 e c x 2

f ' ( x ) ≠ 0 e f ' ( x ) existe para todo x diferente de 0 , então não há valor mínimo ou máximo.

f ' ' x = 0 → x = ± 2 c 3

Então, se c > 0 , os pontos de inflexão aumentam conforme c aumenta, e se c < 0 , não há ponto de inflexão. Para c > 0 , há ponto de inflexão em ± 2 c 3 , e - 3 2 . Note que a coordenada y do ponto de inflexão é constante.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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