Enunciado

Calcular a área da parte do plano 2 x + 2 y + z = 4 compreendida no interior da superfície prismática 1 ≤ x ≤ 2 ,   1 ≤ y ≤ 2 .

Passo 1

De maneira simples, temos que lembrar que o cálculo da área de uma superfície é dada por

A S = ∬ R 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d x   d y

Assim precisamos apenas conhecer nossa funções z e nossos limites de integração.

Passo 2

Primeiro vamos escrever nossa integral em termos das coordenadas x   e   y .

Seja f x , y = 4 - 2 x - 2 y

Tomando nossas derivadas direcionais, temos

∂ z ∂ x = - 2

e

∂ z ∂ y = - 2

Conhecendo nossas derivadas, podemos determinar que o fator de integração se resume em

1 + - 2 2 + - 2 2 = 3

Passo 3

Vamos agora verificar nossos limites de integração. Por algum motivo que me deixa bastante feliz e talvez o deixe também, os limites já nos foram dados. Assim temos

x ∈ 1,2 ; y ∈ 1,2

Passo 4

Vamos integrar?

Nossa integral agora possui a seguinte cara

A S = ∫ 1 2 ∫ 1 2 3 d x   d y

Que de maneira bem simples

A A S = 3 x 1 2 y 1 2 = 3

Isso foi um exercício tranquilo, caso esteja fazendo os exercícios anteriores a esse.

Resposta

3   u . a

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1 ) Calcule a área. (Sugerimos ao leitor desenhar a imagem da superfíciedada.) σ( u ,v )=( u ,v ,1-u-v ) ,u≥0 ,v≥0eu+v≤1 . σ( u ,v )=( u ,v ,2-u-v ) ,u 2+v 2 ≤1 . σ( u ,v )=( u ,v ,u 2+v 2 ) ,u 2+v 2≤
1 ) Calcule a área. (Sugerimos ao leitor desenhar a imagem da superfíciedada.) σ( u ,v )=( u ,v ,1-u-v ) ,u≥0 ,v≥0eu+v≤1 . σ( u ,v )=( u ,v ,2-u-v ) ,u 2+v 2 ≤1 . σ( u ,v )=( u ,v ,u 2+v 2 ) ,u 2+v 2≤
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9 . Calcule a área da parte da superfície z = x 3 / 2 + y 3 / 2 ,0 ≤ x ≤ 8 9 e 0 ≤ y ≤ 9 16 x 2