Enunciado

Determinar a área da superfície plana x + y + z = 8 delimitada pelo cilindro x 2 + y 2 = 4

Passo 1

De maneira simples, temos que lembrar que o cálculo da área de uma superfície é dada por

A S = ∬ R 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d x   d y

Assim precisamos apenas conhecer nossa funções z e nossos limites de integração.

Passo 2

Primeiro vamos escrever nossa integral em termos das coordenadas x   e   y .

Seja f x , y = 8 - x - y

Tomando nossas derivadas direcionais, temos

∂ z ∂ x = - 1

e

∂ z ∂ y = - 1

Conhecendo nossas derivadas, podemos determinar que o fator de integração se resume em

1 + - 1 2 + - 1 2 = 3

Assim nossa integral se resume, por enquanto, a

A S = ∬ R 3 d x   d y

Passo 3

Vamos agora verificar nossos limites de integração. Estamos limitados pela área projetada pelo cilindro. Assim fazendo a devida parametrização

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

Nosso d x   d y se transforma em r   d r   d θ com nossos limites em   r ∈ 0,2 e θ ∈ 0,2 π .

Passo 4

Vamos integrar?

Por fim ficamos com

A S = 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r     d r   d θ

A S = 2 π 3 r 2 2 0 2 = 4 π 3

Resposta

4 π 3   u . a

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