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Calcular a área total da superfície cuja lateral é parte do cilindro x 2 + y 2 = 4 ; cuja parte superior é uma porção do hemisfério z = 16 - x 2 - y 2 e cuja parte inferior é a porção do plano z = 0 .

Passo 1

De maneira simples, temos que lembrar que o cálculo da área de uma superfície é dada por

A S = ∬ R 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d x   d y

Assim precisamos apenas conhecer nossa funções z e nossos limites de integração.

Passo 2

De todos os exercícios dessa seção, finalmente temos um desafiador, pelo menos é o que parece. Teremos que ver para ter certeza. Mentira, é fácil.

Vamos primeiro calcular o topo.

Seja f x , y = 16 - x 2 - y 2

Tomando nossas derivadas direcionais, temos

∂ z ∂ x = - x 16 - x 2 - y 2

e

∂ z ∂ y = - y 16 - x 2 - y 2

Conhecendo nossas derivadas, podemos determinar que o fator de integração se resume em

1 + - x 16 - x 2 - y 2 2 + - y 16 - x 2 - y 2 2 = 4 16 - x 2 - y 2

Passo 3

Vamos agora verificar nossos limites de integração. O que limita a superfície superior da esfera é a área do cilindro, assim tomando uma parametrização cilíndrica,

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z = z

Temos que para nossos limites serão

r ∈ 0,2 ; θ ∈ 0,2 π

Que é o raio do cilindro e o fato de varrermos o ângulo 360° para cobrirmos toda área.

A imagem acima mostra nossa esfera e nosso cilindro construídos no Geogebra 3D.

Passo 4

Vamos integrar?

Nossa integral agora possui a seguinte cara

A S 1 = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 4 r 16 - r 2 d r   d θ

Que de maneira bem simples vamos fazer 16 - r 2 = u → r   d r =   - d u / 2

E assim temos r = 0 → u = 16 e r = 2 → u = 12 . Desta forma temos

A S 1 = - 2 ∫ 0 2 π ∫ 16 12 d u u   d θ = - 4 ∫ 0 2 π u 1 2 16 12 d θ = 8 π 4 - 2 3

Passo 5

Entretanto ainda não terminamos. Agora vamos calcular a parte lateral. Obviamente temos um cilindro, e a área do cilindro é dado por 2 π r L , na qual L é a altura em z que a esfera intercepta o cilindro. Assim temos que relacionando as duas equações, temos

x 2 + y 2 + z 2 = 16 → 4 + z 2 = 16 → z = 12 = 2 3 = L

Desta forma ficamos com

A S 2 = 2 π r L = 8 3 π

Passo 6

E agora em nosso último passo, calculamos a área da tampa inferior que é apenas um disco. Então temos como área π r 2

Então temos

A S 3 = π r 2 = 4 π

Assim temos que a área total será

A S = A S 1 + A S 2 + A ( S 3 )

= π 32 - 16 3 + 8 3 + 4 = π 36 - 8 3

Resposta

π 36 - 8 3   u . a

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