Enunciado

Seja vec f (t) = sen t vec i + cos t vec j + 2 vec k e h (t) = (1)/(t) . Calcular:

(b) underset(t -> 0)(lim) [ h (t) * vec f (t) ]

Passo 1

Galerinha, vamos inicialmente desenvolver esse produto de h ( t ) por vec f ( t ) !

h (t) * vec f (t) = (1)/(t) (sen t vec i + cos t vec j + 2 vec k)

h (t) * vec f (t) = (sen t)/(t) vec i + (cos t)/(t) vec j + (2)/(t) vec k

Agora que temos o resultado, vamos escrever o limite com base na seguinte propriedade: o limite de uma soma é igual a soma dos limites. Assim, vamos escrever nosso novo limite:

underset(t -> 0)(lim) [ h (t) * vec f (t) ] = underset(t -> 0)(lim) [(sen t)/(t) vec i + (cos t)/(t) vec j + (2)/(t) vec k]

underset(t -> 0)(lim) [ h (t) * vec f (t) ] = underset(t -> 0)(lim) ((sen t)/(t) vec i) + underset(t -> 0)(lim) (cos t)/(t) vec j + underset(t -> 0)(lim) (2)/(t) vec k

Passo 2

Basta agora aplicarmos o limite! Assim,

underset(t -> 0)(lim) [ h (t) * vec f (t) ] = underset(t -> 0)(lim) ((sen t)/(t) vec i) + underset(t -> 0)(lim) (cos t)/(t) vec j + underset(t -> 0)(lim) (2)/(t) vec k

Aqui precisamos analisar com cuidade cada limite. O primeiro é o limite de (sen t)/(t) quando t tende a zero. Esse é um limite conhecido e é igual a 1 ; o segundo limite nos dá a 1 // 0 , que vai para o infinito; por fim o último limite nos revela o resultado 2 // 0 , indo para o infinito também. Logo:

underset(t -> 0)(lim) [ h (t) * vec f (t) ] = vec i + oo + oo

Resposta

O limite não existe!

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