Calcular ∂f/∂v | x_0, y_0 na direção v = 2i - j :

f(x, y) = (x + y) / (1 - x); (x_0, y_0) = (0, 1 / 2)

Passo 1

Para acharmos a derivada na direção do vetor v → vamos usar aquela relação lá da teoria, se liga só:

∂ f ∂ v x 0 ,   y 0 = ∇ f x 0 , y 0 ⋅ v v

Então vamos começar encontrando o gradiente de f !

Passo 2

Para acharmos o gradiente, vamos fazer o seguinte:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j →

Substituindo:

∇ f x , y = ∂ x + y 1 - x ∂ x i → + ∂ x + y 1 - x ∂ y j →

Derivando parcialmente:

∇ f x , y = 1 × 1 - x - x + y × - 1 1 - x 2 i → + 1 1 - x j →

Logo,

∇ f x , y = 1 + y 1 - x 2 i → + 1 1 - x j →

Então no ponto 0 , 1 2 , temos:

∇ f 0 , 1 2 = 1 + 1 2 1 - 0 2 i → + 1 1 - 0 j →

Simplificando,

∇ f 0 , 1 2 = 3 2 i → + 1 j →

Reescrevendo,

∇ f 0 , 1 2 = 3 2 , 1

Passo 3

Voltando para formula do Passo 1, temos:

∂ f ∂ v 0 , 1 2 = ∇ f 1,2 ⋅ 2 , - 1 2 , - 1

Substituindo com o que achamos no passo anterior:

∂ f ∂ v 0 , 1 2 = 3 2 , 1 ⋅ 2 , - 1 2 , - 1

Como 2 , - 1 = 2 2 + - 1 2 :

∂ f ∂ v 0 , 1 2 = 3 2 , 1 ⋅ 2 , - 1 2 2 + - 1 2

Fazendo o produto escalar:

∂ f ∂ v 0 , 1 2 = 3 2 × 2 + 1 × - 1 5

Portanto,

∂ f ∂ v 0 , 1 2 = 2 5

Resposta

∂ f ∂ v 0 , 1 2 = 2 5

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