1.

Seja a função

f x , y = x 2 + y 2 - y

E o ponto P = 1 ,   1 . Determine:

  1. A direção na qual a taxa de variação de f em P é máxima.
  2. O valor dessa taxa de variação máxima.
Resolução
2.

Considere a função f x , y = x 2 sen ⁡ π x y . Para que a derivada direcional f u 1 ,   1 2 seja máxima, o ângulo que o vetor u deve formar com o eixo x é:

(a) 90 o

(b) 45 o

(c) 120 o

(d) 30 o

(e) 0 o

Resolução
3.

O Capitão Astro está outra vez em perigo perto da órbita de Mercúrio. Ele está na posição P 0 = 1,1 , 1 , e a temperatura da blindagem de sua espaçonave num ponto x , y , z é dada por T x , y , z = e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 graus.

  1. Que direção ele deve tomar para perder temperatura o mais rápido possível?
  2. Se a espaçonave viaja a e 8 unidades de comprimento por segundo, com que taxa a temperatura irá cair quando ele seguir a direção do item a)?
Resolução
4.

Suponha que você esteja subindo uma montanha cuja forma é dada pela equação z = 1000 - 0,005 x 2 - 0,01 y 2 , em que x , y e z são medidos em metros e você está em um ponto de coordenadas 60 ,   40 ,   966 . O eixo x positivo aponta para Leste e o eixo y positivo aponta para Norte.

a) Se você andar exatamente para o Sul, começará a subir ou a descer? Com que taxa?

b) Se você caminhar em direção ao Nordeste, começará a subir ou a descer? A que taxa?

c) Em que direção a inclinação é maior? Qual a taxa de elevação nessa direção?

Resolução
5.

A derivada direcional de f ( x , y , z ) num ponto P é maior na direção e sentido de v → = ( 2,2 , - 2 ) . Nessa direção o valor da derivada é 48 . Qual é o gradiente de f em P ?

(a) 1 3 , 1 3 ,   - 1 3

(b) ( 1,1 , - 1 )

(c) 2 2 , 2 2 , - 2 2

(d) ( 4,4 , - 4 )

(e) Nenhuma das demais alternativas.

Resolução
6.

Uma montanha tem a superfície descrita por

z = f x , y = 142 - 4 x 2 - y 2

Um esquiador está no ponto A = - 2 ,   1 ,   125 .

Se o esquiador quiser descer o mais rápido possível, em que direção e sentido ele deve tomar? Qual a taxa de descida?

Resolução
7.

Determine a direção em que ocorre a menor taxa de variação da função

f x , y , z = x 2 y 3 + 1 + z x 4

No ponto 1,0 , - 2

  1. - 8,0 , 4
  2. - 6,0 , - 4
  3. - 8,3 , - 4
  4. 6,3 , 4
  5. Nenhuma das outras alternativas.
Resolução
8.

Suponha-se que a pressão atmosférica na posição x , y , z seja pela função

P x , y , z = 4 + x 2 2 - 3 x 2 e z

Se você está na posição 1,2 , 0 , encontre o vetor u → que da direção e sentido que você precisa se mover, a fim de diminuir a pressão atmosférica, o mais rápido possível.

  1. u → = 5,0 , 3
  2. u → = - 5,0 , - 3
  3. u → = - 1,0 , 3
  4. u → = - 5,0 , 0
  5. Nenhuma das outras alternativas
Resolução
9.

Considere f x , y = x + y x - y . Se v = ( a , b ) é um vetor unitário tal que D v f ( 2,1 ) é máxima, então a + b vale:

(a) 1 / 5

(b) - 1 / 5

(c) 2 / 5

(d) 2

(e) - 2

Resolução
10.

Considere a função f x , y = x 2 sen ⁡ π x y . Para que a derivada direcional f u 1 ,   1 2 seja máxima, o ângulo que o vetor u deve formar com o eixo x é:

(a) 90 o

(b) 45 o

(c) 120 o

(d) 30 o

(e) 0 o

Resolução
11.

A derivada direcional de f ( x , y , z ) num ponto P é maior na direção e sentido de v → = ( 2,2 , - 2 ) . Nessa direção o valor da derivada é 48 . Qual é o gradiente de f em P ?

(a) 1 3 , 1 3 ,   - 1 3

(b) ( 1,1 , - 1 )

(c) 2 2 , 2 2 , - 2 2

(d) ( 4,4 , - 4 )

(e) Nenhuma das demais alternativas.

Resolução
12.

Seja f x , y uma função diferenciável em 1,2 tal que f 1,2 = 1 . Sabe-se também que δ f δ u → 1,2 = 11 e que δ f δ v → 1,2 = - 2 , em que u → = 3 5 , 4 5 e v → = 4 5 ,   - 3 5 .

a) Ache a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 1,2 , 1 .

b) Qual o valor máximo que uma derivada direcional de f no ponto 1,2 pode assumir?

Resolução
13.

Seja G = G x , y uma função de classe C 2 em R 2 e considere F : R 2 → R dada por

F s , t = s G s t , - s

  1. Calcule δ F δ s s , t ,   δ F δ t s , t e δ 2 F δ s δ t s , t em termos das derivadas parciais de G .
  2. Sabendo que o plano tangente ao gráfico de G no ponto - 2 , - 2 , G - 2 , - 2 tem equação x - y + 2 z + 1 = 0 , determine o vetor ∇ G - 2 , - 2 e o valor de G - 2 , - 2 .
  3. Determine o vetor unitário u → = a , b tal que a derivada direcional de δ F δ u → ( 2 , - 1 ) seja máxima.
Resolução
14.

Seja r a reta tangente, no ponto 1 , - 1,1 à curva que é a interseção do gráfico de f x , y = x 4 y 2 + 2 3 com a superfície de equação x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + y + z + 3 = 0 . Considere a função G x , y , z = x 2 y + y 3 + x z - z + z 2 . Sabe-se que a direção de máximo crescimento de G num ponto P , é paralela à reta r .

Determine P , a direção e sentido de maior crescimento de G em P e a maior taxa de variação de G nesse ponto.

Resolução
15.

A temperatura (em graus Celsius ) em uma placa de metal é dada por T x , y = 36 - 2 x 2 - 4 y ² , onde x e y são medidos em centímetros. Um objeto está no ponto P = ( 2,1 ) .

Em que direção, a partir de P , a taxa de variação de temperatura com relação à posição é máxima? E qual é a taxa nesta direção, em ℃ / c m   ?

Resolução
16.

Você está no ponto - 100 ,   - 100 ,   430 em uma colina com a forma dada pelo gráfico de z = 500 - 0,003 x 2 - 0,004 y 2 , com x , y e z dados em metros.

a) Em que direção, no plano O x y , você deveria sair para fazer a subida mais íngreme?

b) Qual a taxa de variação nessa direção?

c) A que ângulo, em relação à horizontal, você estará subindo inicialmente?

Resolução
17.

Suponha que você esteja subindo uma montanha cuja forma é dada pela equação z = 1000 - 0,005 x 2 - 0,01 y 2 , em que x , y e z são medidos em metros e você está em um ponto de coordenadas 60 ,   40 ,   966 . O eixo x positivo aponta para Leste e o eixo y positivo aponta para Norte.

a) Se você andar exatamente para o Sul, começará a subir ou a descer? Com que taxa?

b) Se você caminhar em direção ao Nordeste, começará a subir ou a descer? A que taxa?

c) Em que direção a inclinação é maior? Qual a taxa de elevação nessa direção?

Resolução
18.

Considere a função:

f x , y = ln ⁡ x 2 + y 2

  1. Determine a taxa de variação máxima de f em 1,1 e a direção em que isso ocorre.
  2. Calcule a derivada direcional de f em 1,1 na direção do vetor v → = 3,4 .
  3. Mostre que δ 2 f δ x 2 + δ 2 f δ y 2 = 0
Resolução
19.

A distribuição de temperatura em uma chapa metálica é dada por T x , y = x 4 1 ° C m 4 + y 3 1 ° C m 3 , onde T é medido em graus Celsius e x , y em metros. Se um sensor de temperatura se desloca a partir do ponto 1,1 na direção e sentido da derivada direcional máxima nesse ponto, qual a temperatura após 5 metros?

  1. 161   ° C
  2. 689   ° C
  3. 308   ° C
  4. 5 1 4   ° C
  5. 1512   ° C
Resolução
20.

Seja

g x , y = 2 x 2 + y 4

Considere um ponto P pertencente à curva de nível 2 de g e que a derivada direcional máxima de g em P valha 4 . Quantos pontos P satisfazem a propriedade acima descrita?

a nenhum

b 1

c 6

d 4

e 3

Resolução
21.

Seja f   : R 2 → R diferenciável. Sabendo-se que no ponto A = ( 1,3 ) o vetor v → = ( 1,1 ) aponta na direção e sentido de maior crescimento de f em A e que a derivada direcional de f no ponto A na direção de v → é 8 , determine ∇ f ( 1,3 ) .

Resolução
22.

Seja

z = f x , y = x 2 x + 4 y

Então a derivada direcional máxima de f no ponto 2 , - 3 4 ocorre na direção do vetor:

  1. u = 3,4
  2. u = - 3,4
  3. u = 4 , - 3
  4. u = 4 , 3
  5. u = 2 , 3
Resolução
26.

A temperatura de uma chapa plana é dada por T x , y = x 2 + y 2 . A partir do ponto P = 3,4 , determine:

  1. O gradiente da temperatura
  2. A direção em que a temperatura cresce mais rápido e qual a taxa de crescimento.
  3. A direção em que a temperatura decresce mais rápido e qual a taxa de decrescimento.
  4. D u → T 3,4 = δ T δ u → 3,4 , em que u → faz um ângulo de 30 ° com o gradiente de T em 3,4
Resolução
27.

12. Num balão a temperatura T em qualquer ponto P diferente do centro C é positiva e proporcional ao quadrado de sua distância ao centro C . Calcule a taxa de variação da temperatura em P seguindo um vetor unitário u → . Caracterize as taxas máxima, mínima e nula no ponto P .

Resolução
28.

Suponha que a função T :   R 2 - 0 ,   0 → R dada por

T x , y = 1 x 2 + y 2

represente uma distribuição de temperatura em R 2 - 0 ,   0 . Considere uma partícula sobre o ponto P = ( - 1 ,   2 ) . A direção e o sentido de maior crescimento da temperatura desta partícula são os mesmos do vetor:

a) ( 1 ,   - 2 ) .

b) ( - 1 ,   2 ) .

c) ( 1 ,   2 ) .

d) ( - 1 ,   - 2 ) .

e) ( 1 ,   1 ) .

Resolução
29.

Considere a função f x , y = x 2 s e n π x y , para que a derivada direcional D u f 1 , 1 2 seja máxima, o ângulo que o vetor u → deve formar com o eixo x (medido a partir do eixo x no sentido anti-horário) é:

  1. 0 °
  2. 90 °
  3. 45 °
  4. 30 °
  5. Não sei
Resolução
30.

Suponha que o potencial em uma lâmina plana é dado por

V x , y = 80 - 20 x e - x 2 + y 2 20

Onde V é medido em volts e x e y em centímetros.

  1. Determine a taxa de variação do potencial em qualquer direção paralela ao eixo x , e em qualquer direção paralela ao eixo y .
  2. Determine a taxa de variação do potencial na direção do vetor 1,1
  3. Qual é a taxa máxima de variação no ponto 1,0 ?
  4. Em que direção, a partir da origem, o potencial cresce mais rápido?
Resolução
31.

Questão 1

a) Se a temperatura em certa região do espaço é dada pela função T x , y , z = 3 x 2 - 5 y 2 + 2 z 2 e você está localizado no ponto 1 3 , 1 5 , 1 2 e quer estar num ponto mais frio tão rápido quanto possível, em qual direção você deve seguir?

Resolução
32.

A equação da superfície de uma montanha é dada pela função

f x , y = 1200 - 3 x 2 - 2 y ²

Onde as medições de x e y são feitas em metros. Um alpinista se encontra no ponto P - 10,5 , f - 10,5

  1. Em qual direção o alpinista deve seguir para subir o mais rápido possível?
  2. Se o alpinista se mover na direção do eixo y positivo, ele estará subindo os descendo a montanha?
Resolução
33.

Se

f x , y = x 2 y + y ²

No ponto P = ( 1 , - 1 ) , encontre a direção onde f tem a máxima taxa de variação e determine o valor desta taxa.

Resolução
34.

O vetor que dá a direção e o sentido onde ocorre a maior taxa de variação de f x , y = x 2 + 3 x y - 2 y 2 no ponto 1 , - 2 é:

  1. - 4,11
  2. 4 , - 11
  3. 1,1 0
  4. - 1 , - 10
  5. 0,0
  6. nenhuma das demais alternativas
Resolução
35.

Quais são todos os pontos em que a direção de maior crescimento da função

f x , y = x 4 - 2 y 2

É dada pelo vetor unitário

v = 2 2 , 2 2

  1. x , y tais que y = - x 3 e x > 0
  2. x , y = 1,1
  3. x , y = 1 , - 1
  4. x , y = 1 2 5 6 ,   - 1 4
  5. x , y tais que y = x
Resolução
36.

Seja f : R 2 →   R diferenciável. Sabendo-se que no ponto A = ( 1 ,   3 ) o vetor v → = ( 1 ,   1 ) aponta na direção e sentido de maior crescimento de f em A e que a derivada direcional de f no ponto A na direção de v → é 8 , determine ∇ f ( 1 ,   3 ) .

Resolução
37.

Seja f ( x , y ) uma função diferenciável tal que o valor máximo de D u f 0,2 é igual a 2 e ocorre quando u = 2 2 , 2 2 . Se x s , t = s 2 t , y s , t = 2 s e t e F s , t = f x s , t , y s , t então ∂ F ∂ t ( 1,0 ) é:

  1. 2 2
  2. 0
  3. 2
  4. 3 2 2
  5. 3 2
Resolução
38.

Questão 3: Considere a função f x ,   y = 200 e - x 2 - 3 y 2 , e o ponto P 2 ,   - 1 .

  1. Qual a taxa de variação de f , por unidade de comprimento, ao deslocarmos em linha reta do ponto P ao Q 3 ,   - 3 , quando estivermos em P ?
  2. Qual a direção (vetor unitário) de maior crescimento de f no ponto P ?
  3. Qual a taxa máxima de variação (por unidade de comprimento) de f no ponto P ?
Resolução
39.

Considere a função

f x , y = 4 y x

Se i = ( 1,0 ) é o vetor unitário na direção x e j = ( 0,1 ) é o vetor unitário na direção y , então

  1. No ponto P = ( 4,6 ) , a máxima taxa de variação de f é 10 e a direção em que f varia mais rapidamente é u = 3   i + 2   j
  2. No ponto P = ( 4,6 ) , a máxima taxa de variação de f é f 4,6 = 48 e a direção em que f varia mais rapidamente é u = 2   i + 3   j
  3. No ponto P = ( 4,6 ) , a máxima taxa de variação de f é 2 0 e a direção em que f varia mais rapidamente é u = 4   i + 3   j
  4. No ponto P = ( 4,6 ) , a máxima taxa de variação de f é 10 e a direção em que f varia mais rapidamente é u = 3   i + 4   j
  5. No ponto P = ( 4,6 ) , a máxima taxa de variação de f é 24 e a direção em que f varia mais rapidamente é u = 2   i + 3   j
Resolução
40.

Considere a função

f x , y = e x cos ⁡ y

Determine:

  1. A direção ou direções em que a derivada direcional de f no ponto ( 0,0 ) é igual a 2 2 .
  2. A direção ou direções em que a derivada direcional é máxima e encontre esse valor máximo. Use o mesmo ponto do item a .

Observação: as direções são dadas por vetores unitários.

Resolução
41.

Seja

f x , y = x 3 y - x y 2 + c x 2