Enunciado

Calcular as integrais curvilíneas.

∫ C y 2   d s , onde C é a semicircunferência da Figura 9.18.

Passo 1

Vamos parametrizar a região, como é um semicírculo, a gente parametriza com coordenadas polares.

Fica assim:

C = 2 cos ⁡ t ,   2   s e n   t

O intervalo de t vai ser de 0 ,   π , já que é metade de uma circunferência.

Agora a gente deriva essa parametrização e faz a norma, que é o nosso d s ...

C ' = ( - 2 s e n   t ,   2 cos ⁡ t )

A norma agora:

- 2 s e n   t 2 + 2 cos ⁡ t 2 = 4 s e n 2 t + 4 cos 2 ⁡ t = 4 = 2

Beleza, agora é só jogar isso tudo na integral de linha e calcular...

Passo 2

A integral fica:

∫ 0 π ( 4   s e n 2 t ) 2 d t  

8   ∫ 0 π s e n 2 t   d t

8 t 2 - s e n   2 x 4 0 π

= 8 π 2 - s e n   2 π 4 - 0 + s e n   0 4

= 8 π 2 = 4 π

Prontinho😉

Resposta

4 π

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