Enunciado

Calcule

int_gamma (x^2 + y^2) d s

Onde gamma (t) = ( t , t ) , - 1 <= t <= 1

Passo 1

Nosso capítulo se refere a Integral de linha relativa ao comprimeiro de arco. Onde tendo nossa função f (X) contínua, definida na imagem de gamma , então temos que

int_gamma f (X) d s = int_a^b f (gamma (t)) | |gamma^' (t)| | d t

Passo 2

Desta forma vamos agora partir para nosso problema.

Dada a parametrização que o exercício nos fornece, temos que

f (gamma (t)) = t^2 + t^2 = 2 t^2

E

||gamma^' (t)|| = sqrt(1 + 1) = sqrt(2)

Assim nossa integral pode ser reescrita como

int_(- 1)^1 2 sqrt(2) t^2 d t = 2 sqrt(2) [(t^3)/(3)]_(- 1)^1 = (2 sqrt(2))/(3) (1 - (- 1)) = (4 sqrt(2))/(3)

Que nos dá o resultamos que estávamos procurando

Resposta

(4 sqrt(2))/(3)

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