Enunciado

Calcular a integral do campo vetorial f → = ( - y , x ) ao longo dos seguintes caminhos fechados, no sentido anti-horário:

(b) elipse x 2 + 36 y 2 = 36

Passo 1

Primeiro precisamos parametrizar nossa curva. Primeiro vamos resumir a equação da nossa elipse a

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Assim teremos

x 6 2 + y 2 = 1

Dessa forma podemos parametrizar nossa curva da seguinte maneira

r → t = 6 cos ⁡ t ,   s e n   t

Ficando assim com

d r → t = - 6 s e n   t , cos ⁡ t d t

Como é uma superfície fechada, temos que t ∈ 0,2 π

Passo 2

Precisamos resolver a seguinte integral

∫ A B f → ⋅ d r → = ∫ 0 2 π f → r → t ⋅ d r → t

Temos que

f → r → t = ( - s e n   t , 6 cos ⁡ t )

e

f → r → t ⋅ d r → t = 6 s e n 2 t + cos 2 ⁡ t d t = 6 d t

∫ 0 2 π 6 d t = 12 π

Simples, não?

Resposta

12 π

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