Enunciado

Calcular a integral I = ∫ C ( e x d x + z d y + cos ⁡ y d z ) ao longo de C , que é mostrado nas figuras 9.35 , 9.36 e 9.37 .

Passo 1

O que vamos fazer em cada item é, identificar os pontos e o caminho a ser seguindo. Para cada segmento devemos fazer parametrizações diferentes. Uma vez que a gente conhece as parametrizações, podemos começar a resolver nossa integral.

Passo 2

Para a Fig. 9-35, temos o seguinte caminho

2 , 0 , 0 → 2,2 , 0 → 0,2 , 0 → ( 0,2 , 2 )

As setinhas indicam quantas parametrizações precisaremos.

De 2 , 0 , 0 → ( 2,2 , 0 )

r → t = 2 , t , 0 → d r → t = ( 0 , d t , 0 )

De 2,2 , 0 → ( 0,2 , 0 )

r → t = 2 - t , 2,0 → d r → t = - d t , 0,0

De 0,2 , 0 → ( 0,2 , 2 )

r → t = 0,2 , t → d r → t = 0,0 , d t

Onde todos o t varia de 0 a 2 .

Assim fazemos agora que para cada linha temos:

C 1

e x d x + z d y + cos ⁡ y d z → 0

C 2

e x d x + z d y + cos ⁡ y d z → - e 2 - t d t

C 3

e x d x + z d y + cos ⁡ y d z → c o s 2 d t

Agora ainda para a Fig. 9-35 vamos resolver nossa integral

∫ 0 2 - e 2 - t + cos ⁡ 2 d t = e 2 - t + t cos ⁡ 2 0 2

= 1 + 2 cos ⁡ 2 - e 2

Passo 3

Para a Fig. 9-36, temos o seguinte caminho

2 , 0 , 0 → 0 , 2,0 → 0,0 , 2 → 2,0 , 0

As setinhas indicam quantas parametrizações precisaremos.

De 2 , 0 , 0 → ( 0 , 2,0 )

r → t = 2 - t , t , 0 → d r → t = ( - d t , d t , 0 )

De 0 , 2,0 → ( 0 , 0 , 2 )

r → t = 0 , 2 - t , t → d r → t = 0 , - d t , d t

De 0 , 0 , 2 → ( 2 , 0 , 0 )

r → t = t , 0 , 2 - t → d r → t = d t , 0 , - d t

Onde todos o t varia de 0 a 2 .

Assim fazemos agora que para cada linha temos:

C 1

e x d x + z d y + cos ⁡ y d z →   = - e 2 - t d t

C 2

e x d x + z d y + cos ⁡ y d z → - t d t + cos ⁡ ( 2 - t ) d t

C 3

e x d x + z d y + cos ⁡ y d z → e t - 1 d t

Agora ainda para a Fig. 9-36 vamos resolver nossa integral

∫ 0 2 - e 2 - t - t + cos ⁡ 2 - t + e t - 1 d t = e 2 - 2 t - t 2 2 + s e n 2 - t + e t - t 0 2

=   - 4 + s e n   2

Passo 4

Para a Fig. 9-36, temos o seguinte caminho

2,0 , 2 → 0 , 0 , 2 → 0,1 , 2

As setinhas indicam quantas parametrizações precisaremos.

De 2,0 , 2 → ( 0 , 0,2 )

r → t = 2 - 2 t , 0 , 2 → d r → t = ( - 2 d t , 0 , 0 )

De 0 , 0 , 2 → ( 0 , 1 , 2 )

r → t = 0 , t , 2 → d r → t = 0 , d t , 0

Onde todos o t varia de 0 a 1 .

Assim fazemos agora que para cada linha temos:

C 1

e x d x + z d y + cos ⁡ y d z →   = - 2 e 2 - 2 t d t

C 2

e x d x + z d y + cos ⁡ y d z → 2 d t

Agora ainda para a Fig. 9-37 vamos resolver nossa integral

∫ 0 1 - 2 e 2 - 2 t + 2 d t = e 2 - 2 t + 2 t 0 1

=   3 - e 2

Resposta

  1. 1 + 2 cos ⁡ 2 - e 2
  2. - 4 + s e n   2
  3. 3 - e 2
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