Enunciado

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C x + y z d x + 2 x   d y + x y z   d z   ,

C consiste nos segmentos de reta de 1 ,   0 ,   1 a 2 ,   3 ,   1 e de 2 ,   3 ,   1 a ( 2 ,   5 ,   2 ) .

Passo 1

Galera, primeiro vamos dividir a curva C em duas curvas e parametrizá-las:

C 1 :           x = 1 + t   ,       y = 3 t   ,       z = 1   ,           d x = d t   ,       d y = 3   d t   ,       d z = 0   d t   ,           0 ≤ t ≤ 1

C 2 :           x = 2   ,       y = 3 + 2 t   ,       z = 1 + t   ,           d x = 0   d t   ,       d y = 2   d t   ,       d z = d t   ,           0 ≤ t ≤ 1

Então,

∫ C x + y z d x + 2 x   d y + x y z   d z = ∫ C 1 x + y z d x + 2 x   d y + x y z   d z + ∫ C 2 x + y z d x + 2 x   d y + x y z   d z

Passo 2

Show! Agora vamos substituir os valores da parametrização:

∫ C 1 x + y z d x + 2 x   d y + x y z   d z + ∫ C 2 x + y z d x + 2 x   d y + x y z   d z = ∫ 0 1 ( 1 + t + 3 t 1 )   d t + 2 1 + t   .   3   d t + 1 + t 3 t 1   .   0   d t + ∫ 0 1 2 + 3 + 2 t 1 + t   .   0   d t + 2 2   .   2   d t + 2 3 + 2 t 1 + t   d t = ∫ 0 1 10 t + 7 d t + ∫ 0 1 4 t 2 + 10 t + 14 d t = ∫ 0 1 ( 4 t 2 + 20 t + 21 ) d t

Passo 3

Agora vamos resolver a integral obtida:

∫ 0 1 ( 4 t 2 + 20 t + 21 ) d t = 4 t 3 3 + 10 t 2 + 21 t 0 1 = 4 3 + 10 + 21 = 1 3 4 + 93 = 97 3

Resposta

97 3

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Calcule a integral de linha ∫ C F.d r , onde C é dada pela função vetorial r t . F x ,y = x + yi + y - z j + z 2k, r t = t 2i + t 3j + t 2k,0 ≤ t ≤ 1
Determine o trabalho realizado pelo campo de força F x ,y ,z = y + z ,x + z ,x + y sobre uma partícula que se move ao longo do segmento de reta 1 ,0 ,0 a 3 ,4 ,2 .
Encontre o valor exato de ∫ C x 3 y 2 z d s, onde C é a curva com equações paramétricas x = e - t cos ⁡ 4 t , y = e - ts e n 4 t , z = e - t, 0 ≤ t ≤ 2 π .
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