Calcular a integral indefinida.

∫ d x x 5 x - x 2 - 6

Passo 1

Vamos lá, o trinômio de dentro do radical tem raízes reais. Não é difícil você perceber que as raízes são x 1 = 2 e x 2 = 3 .

Nesse caso, a gente pode fazer a substituição:

5 x - x 2 - 6 = x - 2 ∙ t

Aí aqui a gente desenvolve.

Passo 2

Desenvolvendo, fica assim:

5 x - x 2 - 6 = x - 2 2 t 2

- x - 3 x - 2 = x - 2 2 t 2

t 2 =   - x - 3 x - 2 x - 2 2

t 2 = 3 - x x - 2

t = 3 - x x - 2

A raiz lá de cima então fica:

5 x - x 2 - 6 = x - 2 ∙ 3 - x x - 2

= t 1 + t 2

E aí isolando o x a gente encontra:

x = 2 t 2 + 3 1 + t 2

E aí o d x é:

d x = - 2 t 1 + t 2 2 d t

Passo 3

Agora a gente pega tudo isso e substitui na nossa integral inicial...

∫ d x x 5 x - x 2 - 6

= ∫ - 2 t 1 + t 2 2 d t 2 t 2 + 3 1 + t 2 t 1 + t 2

Vamos simplificar:

∫ - 2 2 t 2 + 3 d t

Vamos reescrever assim:

- 2 2 ∫ 2 2 t 2 + 3 d t

Aí a gente integra e fica com:

=   - 2 6 a r c t g   2 3 t + C

Voltando pra variável x ...

=   - 2 6 a r c t g   2 3 - x 3 x - 2 + C

Ufaaa! Agora foi😉

Resposta

- 2 6 a r c t g   2 3 - x 3 x - 2 + C

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