Enunciado

Calcular a integral indefinida.

int (d x)/(x sqrt(5 x - x^2 - 6))

Passo 1

Vamos lá, o trinômio de dentro do radical tem raízes reais. Não é difícil você perceber que as raízes são x_1 = 2 e x_2 = 3 .

Nesse caso, a gente pode fazer a substituição:

sqrt(5 x - x^2 - 6) = (x - 2) * t

Aí aqui a gente desenvolve.

Passo 2

Desenvolvendo, fica assim:

5 x - x^2 - 6 = (x - 2)^2 t^2

- (x - 3) (x - 2) = (x - 2)^2 t^2

t^2 = - ((x - 3) (x - 2))/((x - 2)^2)

t^2 = (3 - x)/(x - 2)

t = sqrt((3 - x)/(x - 2))

A raiz lá de cima então fica:

sqrt(5 x - x^2 - 6) = (x - 2) * sqrt((3 - x)/(x - 2))

= (t)/(1 + t^2)

E aí isolando o x a gente encontra:

x = (2 t^2 + 3)/(1 + t^2)

E aí o d x é:

d x = - (2 t)/((1 + t^2)^2) d t

Passo 3

Agora a gente pega tudo isso e substitui na nossa integral inicial...

int (d x)/(x sqrt(5 x - x^2 - 6))

= int (- (2 t)/((1 + t^2)^2) d t)/(((2 t^2 + 3)/(1 + t^2)) ((t)/(1 + t^2)))

Vamos simplificar:

int - (2)/(2 t^2 + 3) d t

Vamos reescrever assim:

- (2)/(sqrt(2)) int (sqrt(2))/(2 t^2 + 3) d t

Aí a gente integra e fica com:

= - (2)/(sqrt(6)) a r c t g ((sqrt(2))/(sqrt(3)) t) + C

Voltando pra variável x ...

= - (2)/(sqrt(6)) a r c t g sqrt((2 (3 - x))/(3 (x - 2))) + C

Ufaaa! Agora foi😉

Resposta

- (2)/(sqrt(6)) a r c t g sqrt((2 (3 - x))/(3 (x - 2))) + C

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5-18. Calcule a integral definida de duas formas: primeiro com uma substituição u na integral definida e, depois, com uma substituição u na integral indefinida.6. ∫ 1 2 4 x - 2 3 d x