Calcular a integral indefinida.

∫ 1 + cos ⁡ x 1 - s e n   x

Passo 1

Vamos lá, aqui a gente tem uma função racional de seno e cosseno.

O próprio livro dá o macete pra resolver esse tipo de integral. A gente usa a substituição:

  t = t g x 2

E com isso a gente tem que:

s e n   x = 2 t 1 + t 2 ; cos ⁡ x = 1 - t 2 1 + t 2   e   d x = 2 d t 1 + t 2

Vamos lá então...

Passo 2

Substituindo, fica assim:

∫ 1 + 1 - t 2 1 + t 2 1 - 2 t 1 + t 2 ∙ 2 d t 1 + t 2

Vamos dar uma ajeitada agora...

∫ 1 + t 2 + 1 - t 2 1 + t 2 1 + t 2 - 2 t 1 + t 2 ∙ 2 d t 1 + t 2

= ∫ 2 t - 1 2 ∙ 2 d t 1 + t 2

= ∫ 4 d t t - 1 2 1 + t 2

Agora tá mais bonitinho... mas pra resolver essa a gente vai ter que usar frações parciais!

Passo 3

A gente precisa escrever assim:

4 t - 1 2 1 + t 2 = A t - 1 + B t - 1 2 + C t + D 1 + t 2

Vamos desenvolver e eliminar os denominadores agora:

4 = A t - 1 t 2 + 1 + B t - 1 2 + C t + D t - 1 2

4 = A t 3 + t - t 2 - 1 + B t 2 + 1 + C t + D t 2 - 2 t + 1

4 = A t 3 + A t - A t 2 + B t 2 + B + C t 3 - 2 C t 2 + C t + D t 2 - 2 D t + D

Pra isso ser verdadeiro, a gente precisa que:

A + C = 0 - A + B - 2 C + D = 0 A + C - 2 D = 0 - A + B + D = 4

Daqui a gente acha que:

A = - 2 ; B = 2 ; C = 2 ; D = 0

Passo 4

Agora a gente remonta a integral assim:

∫ - 2 t - 1 + 2 t - 1 2 + 2 t t 2 + 1 d t

Beleza, agora integrando fica assim:

= - 2 ln ⁡ t - 1 - 2 t - 1 + ln ⁡ t 2 + 1 + C

Agora a gente volta pra variável x :

=   - 2 ln ⁡ t g x 2 - 1 - 2 t g x 2 - 1 + ln ⁡ t g 2 x 2 + 1 + C

E... pronto!!

Resposta

- 2 ln ⁡ t g x 2 - 1 - 2 t g x 2 - 1 + ln ⁡ t g 2 x 2 + 1 + C

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