Enunciado

Calcular os seguintes limites envolvendo indeterminações:

a) lim x → 2 y → 3 ⁡ x 2 y - 3 x 2 - 4 x y + 12 x + 4 y - 12 x y - 3 x - 2 y + 6

Passo 1

Queremos então calcular o lim x → 2 y → 3 ⁡ x 2 y - 3 x 2 - 4 x y + 12 x + 4 y - 12 x y - 3 x - 2 y + 6 . Só que ao calculamos diretamente, encontraremos que lim x → 2 y → 3 ⁡ x 2 y - 3 x 2 - 4 x y + 12 x + 4 y - 12 x y - 3 x - 2 y + 6 = 0 0 que é uma indeterminação.

Passo 2

Podemos reescrever o limite da seguinte maneira:

lim x → 2 y → 3 ⁡ x 2 y - 3 x 2 - 4 x y + 12 x + 4 y - 12 x y - 3 x - 2 y + 6 = lim x → 2 y → 3 ⁡ y x 2 - 4 x + 4 - 3 ( x 2 + 4 x + 4 ) x y - 3 - 2 ( y - 3 )

= lim x → 2 y → 3 ⁡ ( y - 3 ) x 2 - 4 x + 4 y - 3 x - 2 = lim x → 2 y → 3 ⁡ y - 3 x - 2 2 y - 3 x - 2 = lim x → 2 y → 3 ⁡ ( x - 2 )

Passo 3

Dessa forma temos que:

lim x → 2 y → 3 ⁡ x 2 y - 3 x 2 - 4 x y + 12 x + 4 y - 12 x y - 3 x - 2 y + 6 = lim x → 2 y → 3 ⁡ ( x - 2 ) = 2 - 2 = 0

Resposta

lim x → 2 y → 3 ⁡ x 2 y - 3 x 2 - 4 x y + 12 x + 4 y - 12 x y - 3 x - 2 y + 6 = 0

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Calcular os seguintes limites usando a proposição 3.3 . 6 :c) lim x → 0 y → 0 ⁡ x 2 y x 2 + y 2
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: c) f x ,y = 3 x y x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )
Verificar a existência dos limites das seguintes funções quando x ,y tende ao ponto indicado: d) f x ,y = x 6 + x 2 x 2 + y 2 ;P ( 0 ,0 )
Usando as propriedades, calcular os limites seguintes:f) lim x → 0 y → 1 ⁡ x 2 + y 2 - x y + 7 x 3 + y 3 - 7
Usando as propriedades, calcular os limites seguintes:b) lim x → 2 y → - 1 ⁡ x + y - 2 x 2 + y 2