Enunciado

Calcular o trabalho realizado pela força f → = ( y , z , x ) para deslocar um partícula ao longo da hélice r → t = cos ⁡ t ,   s e n   t ,   2 t de t = 0 a t = 2 π .

Passo 1

Vamos lá, trabalho a gente calcula usando a integral:

∫ a b F σ t ∙ σ ' t d t

Onde F é a força e σ ( t ) é o caminho parametrizado.

Aqui a gente já tem a parametrização, vamos fazer a derivada:

r ' t = ( - s e n   t , cos ⁡ t ,   2 )

Agora é só aplicar na integral do trabalho...

Passo 2

W = ∫ 0 2 π ( s e n   t ,   2 t , cos ⁡ t )   - s e n   t , cos ⁡ t ,   2 d t

= ∫ 0 2 π -   s e n 2 t + 2 t cos ⁡ t + 2 cos ⁡ t   d t

Integramos agora:

- 1 t 2 + 1 4 s e n   2 t + 2 t s e n   t + 2 cos ⁡ t + 2   s e n   t 0 2 π

= - 2 π 2 + 0 + 0 + 2 + 0 - 0 - 0 - 0 - 2 - 0

W = - π

Prontinho! Trabalho calculado😉

Resposta

W = - π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:22. ∫ C d x + d y + d z , onde C é a intersecção das superfícies y + z = 5 e z = 4 - x 2 do ponto A ( 2 ,5 ,0 ) ao ponto B ( - 2 ,5 ,0 )
Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:20. ∫ C x 2 d x + y 2 d y + z 2 d z , onde C é o arco de hélice circular dado por r → t = 4 cos ⁡ t , 4 sin ⁡ t ,8 t ) , t ∈ [ 0,2 π ] .
Nos exercícios 11 a 17, determinar a integral curvilínea do campo vetorial f → ao longo da curva C dada.17. f → x , y , z = ( - y z , x z , x y ) ; C é a elipse x 2 + 9 y 2 = 36 no ponto z = 2 , orien
Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:24. ∫ C y d x + z d y - x y d z , onde C é dada por y = s e nx ; z = 4 ; x ∈ [ 0,2 π ] .
Calcule ∫ γ 2 d x - d y , onde γ tem por imagem x 2 + y 2 = 4 , x ≥ 0 e y ≥ 0 ; o sentido de percurso é de 2,0 para 0,2 .